ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida. Determine se há termos transientes na solução geral.
\left(x^{2}-1\right) \frac{d y}{d x}+2 y=(x+1)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(x^{2}-1\right)\frac{dy}{dx}+2y=(x+1)^{2}
e pede:
  • Encontrar a solução geral y(x).
  • Dizer o maior intervalo I no qual a solução geral está definida.
  • Determinar se existem termos transientes na solução geral.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação envolve o coeficiente \left(x^{2}-1\right) multiplicando \frac{dy}{dx}.
  • O termo à direita é (x+1)^{2}.
  • Não há outras condições iniciais; a solução geral deve conter uma constante arbitrária.

Passo 2

Primeiro passo para resolver: colocamos a equação em uma forma em que possamos aplicar o método padrão (fórmula do fator integrante). Dividimos ambos os lados por \left(x^{2}-1\right), lembrando que isso só é válido onde \left(x^{2}-1\right)\neq 0 (ou seja, x\neq\pm1). Assim obtemos
\frac{dy}{dx}+\frac{2}{x^{2}-1}\,y=\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}-1}.
Aqui já vemos que pontos singulares potenciais são x=\pm1; por isso a solução geral, em princípio, só pode ser buscada em intervalos que não contenham \pm1.

Passo 3

Agora calculamos o fator integrante \mu(x). Precisamos integrar o coeficiente de y:
\int \frac{2}{x^{2}-1}\,dx.
Fazemos frações parciais: \displaystyle \frac{2}{x^{2}-1}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}. Então
\int \frac{2}{x^{2}-1}\,dx=\int\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\,dx =\ln|x-1|-\ln|x+1|=\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int\frac{2}{x^{2}-1}\,dx\right)=\left|\frac{x-1}{x+1}\right|.
Para trabalhar com sinais podemos escolher \mu(x)=\dfrac{x-1}{x+1} (um fator constante multiplicativo não altera o processo). Note que \mu(x) também é indefinido em x=\pm1, consistente com antes.

Passo 4

Multiplicamos a equação por \mu(x)=\dfrac{x-1}{x+1}. A equação original na forma padrão era \displaystyle \frac{dy}{dx}+\frac{2}{x^{2}-1}y=\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}-1}. Multiplicando:
\frac{x-1}{x+1}\frac{dy}{dx}+\frac{x-1}{x+1}\cdot\frac{2}{x^{2}-1}\,y=\frac{x-1}{x+1}\cdot\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}-1}.
Pela construção do fator integrante, a parte da esquerda é exatamente a derivada de \mu(x)\,y. Verificamos isso rapidamente:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x-1}{x+1}y\right) =\frac{x-1}{x+1}\frac{dy}{dx}+y\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x-1}{x+1}\right),
e \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)=\dfrac{2}{(x+1)^{2}}=\dfrac{2}{x^{2}-1}\cdot\frac{x-1}{x+1}, portanto coincide com o termo que multiplica y. Do lado direito simplificamos:
\frac{x-1}{x+1}\cdot\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}-1} =\frac{x-1}{x+1}\cdot\frac{(x+1)^{2}}{(x-1)(x+1)} =1.
Logo obtemos a equação simples
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x-1}{x+1}y\right)=1.

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
\frac{x-1}{x+1}y=\int 1\,dx = x + C,
onde C é a constante de integração. Isolando y,
y=\frac{x+C}{\dfrac{x-1}{x+1}}=(x+C)\cdot\frac{x+1}{x-1}.
Podemos reescrever de forma mais factorada:
y(x)=\frac{(x+1)(x+C)}{x-1},
com C\in\mathbb{R}. Alternativamente, escrevendo a solução como soma de uma solução particular e da homogênea:
y(x)=x+1 + A\cdot\frac{x+1}{x-1},\qquad A\in\mathbb{R},
onde escolhemos A=1+C. Note que a escolha A=0 (ou C=-1) dá a solução particular y(x)=x+1.

Passo 6

Agora discutimos o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida. Como dividimos por \left(x^{2}-1\right) e o fator integrante também é indefinido em x=\pm1, nenhuma solução da família com constante arbitrária pode ser estendida passando por x=\pm1 sem cuidados. Portanto os maiores intervalos conexos em que a solução geral (com constante arbitrária) está definida são:
(-\infty,-1),\quad (-1,1),\quad (1,\infty).
Observação importante: a solução particular y(x)=x+1 (obtida para C=-1) simplifica e não apresenta singularidade — ela satisfaz a equação para todo x e pode ser estendida para \mathbb{R}. Mas a família geral com constante arbitrária só está definida em cada um dos intervalos acima (não atravessa \pm1).

Passo 7

Determinamos se há termos transientes. Chamamos aqui “termo transiente” a parte da solução que envolve a constante arbitrária e que tende a zero quando a variável independente tende a algum limite que represente o comportamento de regime permanente (por exemplo x\to\infty em muitos contextos). Na forma
y(x)=x+1 + A\frac{x+1}{x-1},
o termo envolvendo a constante é A\frac{x+1}{x-1}. Observando limites:
  • Para x\to\infty (no intervalo (1,\infty)) temos \dfrac{x+1}{x-1}\to 1, logo o termo homogêneo tende a A, não tende a zero (a menos que A=0).
  • Em vizinhanças de x=\pm1 o termo homogêneo diverge, novamente não sendo um termo que “decai” para zero em geral.
Portanto, a menos da escolha especial A=0 (que elimina o termo homogêneo), o termo que carrega a constante arbitrária não é um termo transiente no sentido de decair para zero; não existe um decaimento universal do termo homogeneo. Conclusão: não há termos transientes na solução geral (exceto no caso particular A=0 que anula o homogêneo).

Resposta

y(x)=\dfrac{(x+1)(x+C)}{x-1},\\ C\in\mathbb{R}.\n
Os maiores intervalos de definição da solução geral são (-\infty,-1),\\ (-1,1) e (1,\infty). (A solução particular y=x+1 estende-se para todo \mathbb{R}.)\n
Não há termos transientes na solução geral: o termo homogêneo é A\frac{x+1}{x-1} e, em geral, não tende a zero (só desaparece para A=0).

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