ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução geral está definida. Determine se há termos transientes na solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede três coisas:
- achar a solução geral
; - indicar o maior intervalo
onde essa solução geral está definida; - determinar se existem termos transientes na solução geral.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
- A equação é de primeira ordem linear em
. - O coeficiente de
é , que pode ser zero para certos valores de . Isso limita os intervalos onde podemos dividir por esse coeficiente e aplicar métodos padrão. - Devemos trabalhar apenas em intervalos onde
(ou seja, onde e ).
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão
. Para isso dividimos ambos os lados por
— lembrando que isso só é válido onde esse termo não é zero. Fazendo a divisão obtenho:
Agora simplifico os coeficientes:
Portanto a equação em forma padrão é
válida apenas em intervalos onde
e
.
Passo 3
Vou usar o método do fator integrante (integrating factor). Breve aula: para uma equação linear de primeira ordem
o fator integrante é
Multiplicar toda a equação por
transforma o lado esquerdo na derivada do produto
:
Depois integra-se ambos os lados para achar
.
Aqui
. Calculo o fator integrante:
então
Num intervalo onde
não muda de sinal podemos tomar simplesmente
(o sinal absoluto vira constante multiplicativa, absorvível na constante de integração). Portanto escolhemos
no intervalo considerado.
Passo 4
Multiplico a equação padrão por
. A esquerda fica
Como
, o lado esquerdo é
O lado direito ao multiplicar por
é
Logo a equação transformada é
Passo 5
Integro ambos os lados em
:
Sabemos que
, logo
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Isolo
:
Agora simplifico
. Usando
temos
Portanto a solução geral é
definida nos intervalos onde
e
não se anulam.
Passo 7
Agora especifico o maior(s) intervalos
onde a solução geral está definida. Devemos excluir pontos onde
(isto é,
) ou onde
(isto é,
), porque nesses pontos dividimos por esses termos e as funções
e
são singulares.
Os intervalos máximos conectados (cada um é o maior intervalo em que a solução contínua e única existe) são, para todo inteiro
,
Em cada um desses intervalos tanto
quanto
são diferentes de zero, então a fórmula
vale em todo intervalo desse tipo. Por exemplo, um intervalo principal é
.
Passo 8
Sobre termos transientes: em problemas de equações diferenciais que modelam evolução no tempo, por “termos transientes” costuma-se entender componentes da solução homogênea que tendem a zero quando o tempo vai ao infinito (são temporariamente importantes e depois desaparecem). Aqui a solução geral é composta por uma solução particular
e pela solução geral da homogênea
. O termo homogêneo é
, que não tende a zero quando
cresce — é função oscilante com singularidades nos pontos indicados, portanto não é um termo que desaparece em limites como
. Assim, no sentido de “termos transientes que decaem para zero”, não há tais termos. Se a pergunta queria apenas distinguir parte particular e homogênea, então sim: o termo homogêneo é
e a particular é
.