ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida. Determine se há termos transientes na solução geral.
\cos ^{2} x \operatorname{sen} x \frac{d y}{d x}+\left(\cos ^{3} x\right) y=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\cos^{2}x\,\sin x\,\frac{dy}{dx}+\cos^{3}x\,y=1
e pede três coisas:
  1. achar a solução geral y(x);
  2. indicar o maior intervalo I onde essa solução geral está definida;
  3. determinar se existem termos transientes na solução geral.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • A equação é de primeira ordem linear em y.
  • O coeficiente de dy/dx é \cos^{2}x\,\sin x, que pode ser zero para certos valores de x. Isso limita os intervalos onde podemos dividir por esse coeficiente e aplicar métodos padrão.
  • Devemos trabalhar apenas em intervalos onde \cos^{2}x\,\sin x\neq0 (ou seja, onde \sin x\neq0 e \cos x\neq0).

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão y'+p(x)y=q(x). Para isso dividimos ambos os lados por \cos^{2}x\,\sin x — lembrando que isso só é válido onde esse termo não é zero. Fazendo a divisão obtenho:
\frac{dy}{dx}+\frac{\cos^{3}x}{\cos^{2}x\,\sin x}\,y=\frac{1}{\cos^{2}x\,\sin x}.
Agora simplifico os coeficientes:
\frac{\cos^{3}x}{\cos^{2}x\,\sin x}=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x,
\frac{1}{\cos^{2}x\,\sin x}=\operatorname{sec}^{2}x\csc x.
Portanto a equação em forma padrão é
\frac{dy}{dx}+\cot x\,y=\operatorname{sec}^{2}x\csc x,
válida apenas em intervalos onde \sin x\neq0 e \cos x\neq0.

Passo 3

Vou usar o método do fator integrante (integrating factor). Breve aula: para uma equação linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x),
o fator integrante é
\mu(x)=\exp\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Multiplicar toda a equação por \mu(x) transforma o lado esquerdo na derivada do produto \mu(x)y:
\big(\mu(x)y\big)'=\mu(x)q(x).
Depois integra-se ambos os lados para achar y.
Aqui p(x)=\cot x. Calculo o fator integrante:
\int \cot x\,dx=\ln|\sin x|,
então
\mu(x)=\exp(\ln|\sin x|)=|\sin x|.
Num intervalo onde \sin x não muda de sinal podemos tomar simplesmente \mu(x)=\sin x (o sinal absoluto vira constante multiplicativa, absorvível na constante de integração). Portanto escolhemos
\mu(x)=\sin x
no intervalo considerado.

Passo 4

Multiplico a equação padrão por \mu(x)=\sin x. A esquerda fica
\sin x\frac{dy}{dx}+\sin x\cot x\,y.
Como \sin x\cot x=\cos x, o lado esquerdo é
\sin x\frac{dy}{dx}+\cos x\,y=\big(\sin x\;y\big)'.
O lado direito ao multiplicar por \sin x é
\sin x\cdot \operatorname{sec}^{2}x\csc x=\operatorname{sec}^{2}x.
Logo a equação transformada é
\big(\sin x\;y\big)'=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Integro ambos os lados em x:
\sin x\;y=\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx + C.
Sabemos que \frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x, logo
\sin x\;y=\tan x + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 6

Isolo y:
y=\frac{\tan x + C}{\sin x}=\frac{\tan x}{\sin x}+\frac{C}{\sin x}.
Agora simplifico \frac{\tan x}{\sin x}. Usando \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} temos
\frac{\tan x}{\sin x}=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{1}{\sin x}=\frac{1}{\cos x}=\operatorname{sec} x.
Portanto a solução geral é
y(x)=\operatorname{sec} x + C\csc x,
definida nos intervalos onde \sin x e \cos x não se anulam.

Passo 7

Agora especifico o maior(s) intervalos I onde a solução geral está definida. Devemos excluir pontos onde \sin x=0 (isto é, x=k\pi) ou onde \cos x=0 (isto é, x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi), porque nesses pontos dividimos por esses termos e as funções \operatorname{sec} x e \csc x são singulares.
Os intervalos máximos conectados (cada um é o maior intervalo em que a solução contínua e única existe) são, para todo inteiro k,
\big(k\pi,\;k\pi+\tfrac{\pi}{2}\big)\quad\text{e}\quad\big(k\pi+\tfrac{\pi}{2},\;(k+1)\pi\big).
Em cada um desses intervalos tanto \sin x quanto \cos x são diferentes de zero, então a fórmula y(x)=\operatorname{sec} x + C\csc x vale em todo intervalo desse tipo. Por exemplo, um intervalo principal é I=(0,\tfrac{\pi}{2}).

Passo 8

Sobre termos transientes: em problemas de equações diferenciais que modelam evolução no tempo, por “termos transientes” costuma-se entender componentes da solução homogênea que tendem a zero quando o tempo vai ao infinito (são temporariamente importantes e depois desaparecem). Aqui a solução geral é composta por uma solução particular y_p(x)=\operatorname{sec} x e pela solução geral da homogênea y_h(x)=C\csc x. O termo homogêneo é C\csc x, que não tende a zero quando x cresce — é função oscilante com singularidades nos pontos indicados, portanto não é um termo que desaparece em limites como x\to\infty. Assim, no sentido de “termos transientes que decaem para zero”, não há tais termos. Se a pergunta queria apenas distinguir parte particular e homogênea, então sim: o termo homogêneo é C\csc x e a particular é \operatorname{sec} x.

Resposta

y(x)=\operatorname{sec} x + C\csc x.\n I = quaisquer intervalos máximos onde \sin x\neq0 e \cos x\neq0, isto é, \big(k\pi,\;k\pi+\tfrac{\pi}{2}\big) ou \big(k\pi+\tfrac{\pi}{2},\;(k+1)\pi\big), k\in\mathbb{Z}.\nNão há termos transientes que tendam a zero; a parte homogênea é C\csc x, que não decai.

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