ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida. Determine se há termos transientes na solução geral.
y d x=\left(y e^{y}-2 x\right) d y

Passo 1

O enunciado pede três coisas, e nos dá uma equação diferencial em forma diferencial:
  • Pedidos:
    1. Achar a solução geral da equação diferencial.
    2. Dar o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.
    3. Determinar se há termos transientes na solução geral.
  • Informação dada (a equação):
y\,dx=\bigl(y e^{y}-2x\bigr)\,dy.
Observações imediatas sobre os dados que vamos usar depois: a equação relaciona dx e dy; aparece o fator y multiplicando dx e também no lado direito. Portanto teremos de ter cuidado com o caso y=0 ao manipular a equação (divisões por y não são permitidas em y=0).

Passo 2

Vamos rearranjar a equação para escrever x como função de y (tratando y como variável independente). Dividindo ambos os lados por dy e por y (assumindo provisoriamente y\neq 0) obtemos
\frac{dx}{dy}=\frac{y e^{y}-2x}{y}.
Agora organize no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem em x(y):
\frac{dx}{dy} + \frac{2}{y}\,x = e^{y}.
Aqui identificamos claramente a forma
\frac{dx}{dy} + P(y)\,x = Q(y),
com P(y)=\dfrac{2}{y} e Q(y)=e^{y}. Esse é um caso clássico de equação linear de primeira ordem para a função x(y). A ideia é resolver usando o fator integrante (integrating factor). Nota: não podemos fazer essas manipulações em y=0, então o tratamento será para y\neq 0; mais adiante comentamos a solução quando y=0.

Passo 3

Lembra do método do fator integrante? Para uma equação
\frac{dx}{dy}+P(y)\,x=Q(y),
o fator integrante é
\mu(y)=\exp\!\Bigl(\int P(y)\,dy\Bigr).
Multiplicando a equação por \mu(y) transformamos o lado esquerdo em derivada do produto \dfrac{d}{dy}\bigl(\mu(y)\,x\bigr).
Aqui P(y)=\dfrac{2}{y}, então calculemos \mu(y):
\mu(y)=\exp\!\Bigl(\int \frac{2}{y}\,dy\Bigr)=\exp\bigl(2\ln|y|\bigr)=|y|^{2}=y^{2}.
(Usamos |y|^{2}=y^{2}, portanto o fator integrante é y^{2}.) Lembrando: esse cálculo exige y\neq 0; por isso a solução que obtivermos valerá em intervalos que não contenham 0.
Multiplicando a equação por y^{2} obtemos
y^{2}\frac{dx}{dy} + 2y\,x = y^{2}e^{y}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x\,y^{2}:
\frac{d}{dy}\bigl(x\,y^{2}\bigr)=y^{2}e^{y}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a y:
x\,y^{2}=\int y^{2}e^{y}\,dy + C,
onde C é a constante de integração.
Agora precisamos calcular a integral \int y^{2}e^{y}\,dy. Fazemos por partes (ou pelo método repetido de integração por partes). Seja \int y^{2}e^{y}\,dy.
Tomamos u=y^{2} e dv=e^{y}dy. Então du=2y\,dy e v=e^{y}. Assim
\int y^{2}e^{y}\,dy = y^{2}e^{y} - \int 2y e^{y}\,dy.
Calcule a integral \int 2y e^{y}\,dy por partes novamente: com u=2y, dv=e^{y}dy temos du=2dy, v=e^{y}, então
\int 2y e^{y}\,dy = 2y e^{y} - \int 2 e^{y}\,dy = 2y e^{y} - 2 e^{y}.
Substituindo de volta:
\int y^{2}e^{y}\,dy = y^{2}e^{y} - \bigl(2y e^{y} - 2 e^{y}\bigr) = e^{y}\bigl(y^{2}-2y+2\bigr) + \text{const}.
Portanto, voltando à solução para x:
x\,y^{2}=e^{y}\bigl(y^{2}-2y+2\bigr)+C.

Passo 5

Isolamos x para obter a forma explícita da solução geral (válida para y\neq 0):
x(y)=\frac{e^{y}\bigl(y^{2}-2y+2\bigr)+C}{y^{2}}.
É comum escrever separando a parte particular e a homogênea:
x(y)=e^{y}\!\left(1-\frac{2}{y}+\frac{2}{y^{2}}\right)+\frac{C}{y^{2}}.
Aqui a parte \dfrac{C}{y^{2}} é a solução geral da equação homogênea associada, e a parte com e^{y} é uma solução particular.
Lembre-se: essa solução foi obtida assumindo y\neq 0, porque dividimos por y no começo e usamos \mu(y)=y^{2}. Portanto a solução explícita acima vale em qualquer intervalo que não contenha 0.

Passo 6

Agora discutimos o domínio máximo I onde a solução geral se define continuamente. Como a fórmula envolve y^{-2}, o ponto y=0 é singular e não pode pertencer ao mesmo intervalo em que a solução geral (com constante arbitrária C) é definida. Assim os maiores intervalos onde a família de soluções gerais é válida são os intervalos conectados que não contêm 0, ou seja:
I = (0,\infty)\quad\text{ou}\quad I = (-\infty,0).
Observação adicional sobre y=0: existe a solução singela (degenerada) dada por y\equiv 0 (a função identicamente zero). Se y(x)\equiv 0 então a equação diferencial diferencial y\,dx=(y e^{y}-2x)\,dy é satisfeita identicamente (ambos os lados são zero quando dy=0), então a reta y=0 é uma solução isolada no plano. Porém essa solução não pertence à família x(y) obtida acima porque aquela família exige y\neq 0.

Passo 7

Por fim examinamos se há termos transientes. Normalmente, chamamos de termo transitório uma parte da solução que tende a zero conforme a variável independente vai para um certo limite (por exemplo |y|\to\infty, se considerarmos y crescendo). Na solução geral
x(y)=e^{y}\!\left(1-\frac{2}{y}+\frac{2}{y^{2}}\right)+\frac{C}{y^{2}},
a parte homogênea é \dfrac{C}{y^{2}}. Essa parte tende a zero quando |y|\to\infty (pois 1/y^{2}\to 0), então pode ser considerada um termo transitório — ela desaparece para |y| grandes. A parte particular (o termo com e^{y}) cresce exponencialmente quando y\to+\infty e não é transitória nesse sentido; para y\to-\infty a parte com e^{y} tende a zero, mas o comportamento global depende do sentido que tomamos para o “tempo” (a variável independente). Em resumo: há um termo transitório claro, que é \dfrac{C}{y^{2}}.

Resposta

x\,y^{2}=e^{y}\bigl(y^{2}-2y+2\bigr)+C (ou x(y)=e^{y}\!\left(1-\dfrac{2}{y}+\dfrac{2}{y^{2}}\right)+\dfrac{C}{y^{2}}).\n
I=(0,\infty) ou I=(-\infty,0) (a família geral exige y\neq 0; existe também a solução singela y\equiv 0).\n
Sim — o termo homogêneo \dfrac{C}{y^{2}} é transitório (tende a 0 quando |y|\to\infty).

Exercícios relacionados