ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução geral está definida. Determine se há termos transientes na solução geral.
Passo 1
O enunciado pede três coisas, e nos dá uma equação diferencial em forma diferencial:
-
Pedidos:
- Achar a solução geral da equação diferencial.
- Dar o maior intervalo
sobre o qual a solução geral está definida. - Determinar se há termos transientes na solução geral.
-
Informação dada (a equação):
Observações imediatas sobre os dados que vamos usar depois: a equação relaciona
e
; aparece o fator
multiplicando
e também no lado direito. Portanto teremos de ter cuidado com o caso
ao manipular a equação (divisões por
não são permitidas em
).
Passo 2
Vamos rearranjar a equação para escrever
como função de
(tratando
como variável independente). Dividindo ambos os lados por
e por
(assumindo provisoriamente
) obtemos
Agora organize no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem em
:
Aqui identificamos claramente a forma
com
e
. Esse é um caso clássico de equação linear de primeira ordem para a função
. A ideia é resolver usando o fator integrante (integrating factor). Nota: não podemos fazer essas manipulações em
, então o tratamento será para
; mais adiante comentamos a solução quando
.
Passo 3
Lembra do método do fator integrante? Para uma equação
o fator integrante é
Multiplicando a equação por
transformamos o lado esquerdo em derivada do produto
.
Aqui
, então calculemos
:
(Usamos
, portanto o fator integrante é
.) Lembrando: esse cálculo exige
; por isso a solução que obtivermos valerá em intervalos que não contenham
.
Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
:
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Agora precisamos calcular a integral
. Fazemos por partes (ou pelo método repetido de integração por partes). Seja
.
Tomamos e
. Então
e
. Assim
Tomamos
Calcule a integral
por partes novamente: com
,
temos
,
, então
Substituindo de volta:
Portanto, voltando à solução para
:
Passo 5
Isolamos
para obter a forma explícita da solução geral (válida para
):
É comum escrever separando a parte particular e a homogênea:
Aqui a parte
é a solução geral da equação homogênea associada, e a parte com
é uma solução particular.
Lembre-se: essa solução foi obtida assumindo
, porque dividimos por
no começo e usamos
. Portanto a solução explícita acima vale em qualquer intervalo que não contenha
.
Passo 6
Agora discutimos o domínio máximo
onde a solução geral se define continuamente. Como a fórmula envolve
, o ponto
é singular e não pode pertencer ao mesmo intervalo em que a solução geral (com constante arbitrária
) é definida. Assim os maiores intervalos onde a família de soluções gerais é válida são os intervalos conectados que não contêm
, ou seja:
Observação adicional sobre
: existe a solução singela (degenerada) dada por
(a função identicamente zero). Se
então a equação diferencial diferencial
é satisfeita identicamente (ambos os lados são zero quando
), então a reta
é uma solução isolada no plano. Porém essa solução não pertence à família
obtida acima porque aquela família exige
.
Passo 7
Por fim examinamos se há termos transientes. Normalmente, chamamos de termo transitório uma parte da solução que tende a zero conforme a variável independente vai para um certo limite (por exemplo
, se considerarmos
crescendo). Na solução geral
a parte homogênea é
. Essa parte tende a zero quando
(pois
), então pode ser considerada um termo transitório — ela desaparece para
grandes. A parte particular (o termo com
) cresce exponencialmente quando
e não é transitória nesse sentido; para
a parte com
tende a zero, mas o comportamento global depende do sentido que tomamos para o “tempo” (a variável independente). Em resumo: há um termo transitório claro, que é
.
Resposta
Sim — o termo homogêneo