Resolva a equação diferencial
y^prime prime+25 y=x+cos x
com as condições iniciais y(0)=0 e y^prime(0)=1.

Passo 1

Resumindo: queremos resolver a EDO linear de 2ª ordem y'' + 25y = x + cos x com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e método de coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a solução homogênea, montamos a equação característica r^2 + 25 = 0, cujas raízes são r=pm5i. Assim, a solução geral do homogêneo é yh = C1cos(5x) + C2sin(5x).

Passo 3

Buscando uma solução particular para o termo x, assumimos yp1 = Ax + B. Como yp1'' = 0, temos
yp1'' + 25yp1 = 25(Ax + B) = x
Igualando, obtemos 25A = 1 e 25B = 0, logo A = tfrac125 e B = 0. Assim, yp1 = tfracx25.

Passo 4

Para o termo cos x, supomos yp2 = Ccos x + Dsin x. Calculando
yp2'' + 25yp2 = (-Ccos x - Dsin x) + 25(Ccos x + Dsin x) = 24Ccos x + 24Dsin x,
eu igualo a cos x e obtenho 24C = 1, 24D = 0. Logo C = tfrac124, D = 0 e yp2 = tfrac124cos x.

Passo 5

A solução geral é
y = C1cos(5x) + C2sin(5x) + x25 + 124cos x
Impondo y(0)=0 C1 + tfrac124 = 0, logo C1 = -tfrac124. Derivando e impondo y'(0)=1 resulta 5C2 + tfrac125 = 1, portanto C2 = tfrac24125.

Resposta

y(x) = -tfrac124cos(5x) + tfrac24125sin(5x) + tfracx25 + tfrac124cos(x)

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