Ache a solução geral da equação diferencial de 2^a ordem não-homogênea dada, pelo método de coeficientes a determinar.
x^prime prime+x=2 sen(t)

Passo 1

Temos a equação diferencial de 2ª ordem não homogênea x'' + x = 2 sin(t). O conteúdo é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e o método de coeficientes a determinar; vamos precisar da solução homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Para a solução homogênea resolvemos a equação característica r^2 + 1 = 0, que dá r = pm i. Logo a solução homogênea é xh(t) = C1 cos t + C2 sin t.

Passo 3

Como o termo não homogêneo 2sin t coincide com a solução da homogênea, há ressonância. Então tentamos uma solução particular do tipo xp(t) = t(A cos t + B sin t).

Passo 4

Calculamos as derivadas de xp e montamos xp'' + xp. Derivando obtemos
xp'' + xp = -2A sin t + 2B cos t
Igualando a 2sin t resulta em 2B = 0 e -2A = 2, logo B = 0 e A = -1.

Passo 5

Somamos as soluções homogênea e particular para formar a solução geral da equação.

Resposta

x(t) = C_1 \cos t + C_2 \sin t - t \cos t

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