Considere a equação
Usando o método de separação de variáveis, com
, prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que envolve derivadas parciais:
A matéria aqui é equações diferenciais parciais, e vamos usar o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende só de $ x $ e outra que depende só de $ t $, ou seja, $ u(x, t) = X(x) T(t) $. Vamos precisar derivar isso e substituir na equação original para provar a relação que foi pedida.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que $ u(x, t) = X(x) T(t) $. Assim, precisamos encontrar as derivadas de segunda ordem de $ u $ em relação a $ t $ e $ x $:
Aqui, $ T’’(t) $ representa a segunda derivada de $ T $ em relação a $ t $, e $ X’’(x) $ a segunda derivada de $ X $ em relação a $ x $.
Passo 3
Agora, substituímos $ u_{tt} $, $ u_{xx} $ e $ u(x, t) $ na equação original:
Para simplificar, vamos dividir toda a equação por $ X(x) T(t) $:
Isso simplifica para:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para isolar os termos que dependem apenas de $ t $ e apenas de $ x $:
Perceba que o lado esquerdo depende só de $ t $ e o lado direito só de $ x $. Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os $ x $ e $ t $, ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que vamos chamar de $ \sigma $. Assim:
e
Resposta
Portanto, provamos que: