Ache a solução geral da equação diferencial de 2^a ordem não-homogênea dada, pelo método de coeficientes a determinar.
d^2 yd x^2-y=16 x-20 e^-x

Passo 1

A equação diferencial dada é de segunda ordem não-homogênea: y'' - y = 16x - 20e^-x. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares de 2ª ordem e o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar de três etapas: resolver a homogênea, encontrar soluções particulares para cada parte do termo não-homogêneo e somar tudo.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea associada y'' - y = 0. A equação característica é
r^2 - 1 = 0
cuja raízes são r = 1 e r = -1. Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1e^x + C2e^-x

Passo 3

O termo não-homogêneo é a soma de 16x (polinomial de grau 1) e -20e^-x (exponencial). Por linearidade, buscamos yp = yp1 + yp2, onde cada parte anula um dos termos.

Passo 4

Para a parte polinomial 16x, supomos
yp1(x) = Ax + B
Como yp1'' = 0, temos
Para anular L[yp1] = yp1'' - yp1 = -(Ax + B) queremos 16x, isto é:
-Ax - B = 16x
-A = 16,
Daí -B = 0 e A = -16, logo
B = 0

Passo 5

Para a parte exponencial -20e^-x, notamos que e^-x já aparece na homogênea, então multiplicamos por x. Suponha
yp2(x) = Cx e^-x
Calculando as derivadas:
yp2' = C e^-x - Cx e^-x,
yp2'' = -2C e^-x + Cx e^-x
Assim
L[yp2] = yp2'' - yp2 = (-2C e^-x + Cx e^-x) - Cx e^-x = -2C e^-x
Igualando a -20e^-x -2C = -20 e, portanto, C = 10. Assim
yp2(x) = 10x e^-x

Passo 6

Somando tudo, a solução geral é a soma da homogênea com as particulares:

Resposta

y(x) = C1e^x + C2e^-x - 16x + 10x e^-x

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