Ache a solução geral da equação diferencial de
ordem não-homogênea dada, pelo método de coeficientes a determinar.
Passo 1
A equação diferencial dada é de segunda ordem não-homogênea:
. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares de 2ª ordem e o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar de três etapas: resolver a homogênea, encontrar soluções particulares para cada parte do termo não-homogêneo e somar tudo.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea associada
. A equação característica é
cuja raízes são
e
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
O termo não-homogêneo é a soma de
(polinomial de grau 1) e
(exponencial). Por linearidade, buscamos
, onde cada parte anula um dos termos.
Passo 4
Para a parte polinomial
, supomos
Como
, temos
Para anular
queremos
, isto é:
Daí
e
, logo
Passo 5
Para a parte exponencial
, notamos que
já aparece na homogênea, então multiplicamos por
. Suponha
Calculando as derivadas:
Assim
Igualando a
dá
e, portanto,
. Assim
Passo 6
Somando tudo, a solução geral é a soma da homogênea com as particulares: