Ache a solução geral da equação diferencial de
ordem não-homogênea dada, pelo método de coeficientes a determinar.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO não-homogênea de 2ª ordem
Isso envolve a parte complementar (solução da homogênea) e a parte particular (método dos coeficientes a determinar).
Isso envolve a parte complementar (solução da homogênea) e a parte particular (método dos coeficientes a determinar).
Passo 2
Para a parte complementar, resolvemos a equação característica associada à homogênea:
.
As raízes são e
, logo
.
As raízes são
Passo 3
Para a parte particular, como o termo forçante é
, tentamos
sendo e
constantes a determinar (não há repetição das raízes complexas).
sendo
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
,
.
Substituindo em e agrupando, obtemos
.
Substituindo em
Passo 5
Igualando ao forçante
, montamos o sistema
,
.
Daí e
, então
.
Daí
Passo 6
Portanto, a solução particular é
e a solução geral fica:
e a solução geral fica:
Resposta
y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + \frac{1}{10} e^x (\cos x + \sin x)