Ache a solução geral da equação diferencial de 2^a ordem não-homogênea dada, pelo método de coeficientes a determinar.
d^2 yd x^2+3 d yd x+2 y=e^x cos x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO não-homogênea de 2ª ordem
y'' + 3y' + 2y = e^x cos x
Isso envolve a parte complementar (solução da homogênea) e a parte particular (método dos coeficientes a determinar).

Passo 2

Para a parte complementar, resolvemos a equação característica associada à homogênea:
r^2 + 3r + 2 = 0.
As raízes são r = -1 e r = -2, logo
yc(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x.

Passo 3

Para a parte particular, como o termo forçante é e^x cos x, tentamos
yp(x) = e^xl(Acos x + Bsin xr)
sendo A e B constantes a determinar (não há repetição das raízes complexas).

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = e^xl((A+B)cos x + (B-A)sin xr),
yp'' = e^xl(2Bcos x - 2Asin xr).
Substituindo em y'' + 3y' + 2y e agrupando, obtemos
e^xl((5A+5B)cos x +(-5A+5B)sin xr).

Passo 5

Igualando ao forçante e^xcos x, montamos o sistema
5A + 5B = 1,
-5A + 5B = 0.
Daí B = A e 10A = 1, então A = B = tfrac110.

Passo 6

Portanto, a solução particular é
yp(x) = tfrac110e^x(cos x + sin x)
e a solução geral fica:
y(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x + tfrac110e^x(cos x + sin x)

Resposta

y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + \frac{1}{10} e^x (\cos x + \sin x)

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