Curso: Bacharelado em Engenharia Mecânica
Profa. Vanísia Lima
Disciplina: Cálculo III

EXERCÍCIOS

t y^prime(t)-2 y(t)=-t

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial de primeira ordem linear t,y'(t)-2,y(t)=-t. Vamos resolver usando o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão dividindo por t (assumindo tneq0): y'(t)-2ty(t)=-1.
Identificamos p(t)=-2t e g(t)=-1. O fator integrante é mu(t)=e^integral p(t),dt=e^integral -2/t,dt=t^-2.

Passo 3

Multiplicamos a equação padrão por mu(t). Fica:
t^-2y'(t)-2t^-3y(t)=-t^-2
Reconhecemos o lado esquerdo como derivada de t^-2y(t):
l(t^-2y(t)r)'=-t^-2

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
integral l(t^-2y(t)r)',dt = integral -t^-2,dt
Isso dá
t^-2y(t)=t^-1+C

Passo 5

Por fim, isolamos y(t). Multiplicando por t^2 vem
y(t)=t + C,t^2

Resposta

y(t)=t + C,t^2

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