Ache a solução geral da equação de Euler
x^2 y^prime prime+alpha x y^prime+beta y=0, x>0,
para alpha=-3 e beta=-5. Sugestão: procure soluções da forma x^r.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Euler (Cauchy–Euler)
x^2y''+alpha x y'+beta y=0,
com alpha=-3 e beta=-5. A sugestão é buscar soluções da forma ,y=x^r.

Passo 2

Supondo ,y=x^r, calculamos as derivadas:
y' = r,x^r-1,
y'' = r(r-1),x^r-2
Agora é só substituir na equação original.

Passo 3

Substituindo em x^2y''-3x,y'-5y=0:
x^2l(r(r-1)x^r-2r);-;3xl(r,x^r-1r);-;5x^r=0
Rightarrow r(r-1)x^r-3r,x^r-5x^r=0
Rightarrow l[r(r-1)-3r-5r]x^r=0
Rightarrow r(r-1)-3r-5=0 Longrightarrow r^2-4r-5=0
Resolvendo a equação quadrática:
r = 4pmraiz16+202 = 4pm62 Longrightarrow r1=5,;r2=-1

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral é
y(x)=C1,x^r1+C2,x^r2 = C1,x^5+C2,x^-1

Resposta

y(x)=C1x^5+C2x^-1

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