Se s(t) descreve a posição (em metros) de um objeto no tempo t (em segundos), calcule sua velocidade no instante t0 dado, usando a fórmula v(t0)=lim t t0 s(t)-s(t0)t-t0 :
s(t)=cos t e t0=0.

Passo 1

O enunciado dá a posição s(t)=cos t e pede a velocidade no instante t0=0 usando a definição de derivada
v(t0)=limtto t0s(t)-s(t0)t-t0
O conteúdo aqui é cálculo de limite, aplicando identidade trigonométrica e limite fundamental.

Passo 2

Substituindo s(t) e t0 na definição, obtemos o quociente de diferença
s(t)-s(0)t-0=cos t - cos 0t=cos t - 1t

Passo 3

Para tratar cos t -1t, usamos a identidade
cos t -1 = -2sin^2!l(tfrac t2r),
então
cos t -1t = -2sin^2!l(tfrac t2r)t = -2cdotsin!l(tfrac t2r)t,sin!l(tfrac t2r)

Passo 4

Reescrevendo sin(tfrac t2)t=sin(tfrac t2)tfrac t2cdot12 e usando o limite fundamental limuto0sin uu=1, temos
limtto0sin(tfrac t2)t =12 e limtto0sin!l(tfrac t2r)=0
Portanto
limtto0cos t -1t = -2cdot12cdot0 = 0

Resposta

A velocidade no instante t0=0 é
v(0)=0

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