Expresse a integral como uma integral equivalente com a ordem de integração invertida.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{x}} f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
integral0^2integral0^raizxf(x,y),dy,dx
O conteúdo é geometria de domínio em integrais duplas: precisamos descrever a região de integração no plano xy e depois projetá-la sobre o eixo y para achar os novos limites.

Passo 2

A região D é dada por
0 <= x <= 2, 0 <= y <= raizx
Da desigualdade y <= raizx segue x >= y^2. O valor máximo de y ocorre quando x=2, ou seja ,ymax=raiz2. E o mínimo é ymin=0.

Passo 3

Para cada y fixo em [0,raiz2], o x varia de y^2 até 2. Assim, a integral com ordem invertida tem y indo de 0 a raiz2 e, para cada y, x de y^2 a 2.

Resposta

integral0^raiz2integraly^2^2f(x,y),dx,dy

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