Encontre o plano tangente e o vetor normal à superfície z=f(x, y) no ponto dado:
f(x, y)=x^2+y^2 em (1,1);

Passo 1

O enunciado dá a superfície z=f(x,y)=x^2+y^2 e pede o plano tangente e o vetor normal no ponto (1,1). Vamos usar derivadas parciais para obter o coeficientes do plano tangente e depois extrair o vetor normal.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=2x, fy(x,y)=2y
No ponto (1,1) temos
fx(1,1)=2, fy(1,1)=2, z0=f(1,1)=1^2+1^2=2

Passo 3

A fórmula do plano tangente a z=f(x,y) em (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Substituindo (x0,y0,z0)=(1,1,2) e as derivadas:
z - 2 = 2,(x - 1) + 2,(y - 1)
z - 2 = 2x - 2 + 2y - 2
z = 2x + 2y - 2

Passo 4

Para o vetor normal podemos reescrever o plano em forma geral Ax+By+Cz+D=0. A partir de
z - (2x+2y-2)=0 ;Longrightarrow; 2x+2y - z -2=0
vemos que (A,B,C)=(2,2,-1) é um vetor normal. Alternativamente, o gradiente de
F(x,y,z)=z - x^2 - y^2
em (1,1,2) é
nabla F = l(-2x,,-2y,,1r)|(1,1,2) = (-2,-2,1),
que é colinear a (2,2,-1).

Resposta

Plano tangente: z = 2x + 2y - 2.\nVetor normal: (2,2,-1).

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