Nos Exercícios de 1 a 6, ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de x e y antes da diferenciação.
u=e^{y / x} ; x=2 r \cos t ; y=4 r \operatorname{sen} t ; \frac{\partial u}{\partial r}

Passo 1

O enunciado dá a função u=e^{y/x} e as substituições x=2r\cos t e y=4r\sin t. A pergunta é: calcular \dfrac{\partial u}{\partial r}.
Informações relevantes fornecidas:
  • u(x,y)=e^{y/x}.
  • x(r,t)=2r\cos t.
  • y(r,t)=4r\sin t.
  • Ao derivar em relação a r, tratamos t como constante (derivada parcial).
    A seguir vou resolver de duas formas: (a) usando a regra da cadeia; (b) substituindo x,y em u antes de diferenciar.

Passo 2

Explicando a regra da cadeia (para este caso): se u=u(x,y) e x=x(r,t), y=y(r,t), então a derivada parcial de u em relação a r é
\frac{\partial u}{\partial r}=u_x\frac{\partial x}{\partial r}+u_y\frac{\partial y}{\partial r},
onde u_x é a derivada parcial de u em relação a x (com y fixa) e u_y é a derivada parcial de u em relação a y (com x fixa). Aqui t é parâmetro (constante) durante a diferenciação em r.

Passo 3

Calcular u_x e u_y para u=e^{y/x}. Vou explicar passo a passo.
Primeiro, pense em u como função composta u(p)=e^{p} com p=y/x. A derivada de e^{p} em relação a p é e^{p}.
  • Para u_x: trata-se de diferenciar e^{y/x} em relação a x, mantendo y fixo. A derivada de p=y/x em relação a x (com y constante) é -y/x^{2} (regra da derivada de um quociente com o numerador constante). Logo,
u_x = e^{y/x}\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right) = -\frac{y}{x^{2}}e^{y/x}.
  • Para u_y: deriva-se e^{y/x} em relação a y, com x fixo. A derivada de p=y/x em relação a y é 1/x. Então
u_y = e^{y/x}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x}e^{y/x}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial x}{\partial r} e \dfrac{\partial y}{\partial r}. Como t é constante:
\frac{\partial x}{\partial r}=\frac{\partial}{\partial r}\big(2r\cos t\big)=2\cos t,
\frac{\partial y}{\partial r}=\frac{\partial}{\partial r}\big(4r\sin t\big)=4\sin t.
(Isto é direto: multiplicamos a constante pela derivada de r, que é 1.)

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia e substituindo u_x,u_y,x_r,y_r:
\frac{\partial u}{\partial r}= \left(-\frac{y}{x^{2}}e^{y/x}\right)\cdot(2\cos t) + \left(\frac{1}{x}e^{y/x}\right)\cdot(4\sin t).
Colocando e^{y/x} em evidência e simplificando:
\frac{\partial u}{\partial r}= e^{y/x}\!\left(-\frac{2y\cos t}{x^{2}}+\frac{4\sin t}{x}\right)
e escrevendo com denominador comum x^{2},
\frac{\partial u}{\partial r}= \frac{e^{y/x}}{x^{2}}\big(-2y\cos t + 4x\sin t\big).

Passo 6

Agora substituímos x=2r\cos t e y=4r\sin t no fator entre parênteses para ver se sobra algo:
-2y\cos t + 4x\sin t = -2(4r\sin t)\cos t + 4(2r\cos t)\sin t.
Calcule termo a termo:
-2(4r\sin t)\cos t = -8r\sin t\cos t,
4(2r\cos t)\sin t = 8r\cos t\sin t.
Somando:
-8r\sin t\cos t + 8r\cos t\sin t = 0.
Portanto o fator entre parênteses é zero, o que implica
\frac{\partial u}{\partial r}=0.
Observação rápida: aqui usamos que x\neq 0 para poder escrever as expressões com x no denominador; mas ao final o numerador anulou-se identicamente para todas as r,t (com r e t tais que x\neq0), então a derivada parcial é 0.

Passo 7

Agora o método (b): primeiro fazemos a substituição em u e só depois derivamos. Substituindo:
\frac{y}{x}=\frac{4r\sin t}{2r\cos t}=\frac{4}{2}\cdot\frac{\sin t}{\cos t}=2\tan t.
Note que o r cancelou! Assim
u(r,t)=e^{y/x}=e^{2\tan t}.
Essa expressão não depende de r (apenas de t), então ao derivar em relação a r, com t fixo, obtemos
\frac{\partial u}{\partial r}=0.

Passo 8

Conclusão e checagem: ambos os métodos (a) regra da cadeia e (b) substituição seguida de diferenciação dão o mesmo resultado: \dfrac{\partial u}{\partial r}=0. É bom notar o motivo intuitivo: y/x ficou independente de r após as substituições, então u não varia quando mudamos r (mantendo t fixo). Parabéns — deu tudo certo!

Resposta

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