Nos Exercícios de 1 a 6, ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de x e y antes da diferenciação.
Passo 1
O enunciado dá a função
e as substituições
e
. A pergunta é: calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
. -
. -
. - Ao derivar em relação a
, tratamos como constante (derivada parcial).
A seguir vou resolver de duas formas: (a) usando a regra da cadeia; (b) substituindoem antes de diferenciar.
Passo 2
Explicando a regra da cadeia (para este caso): se
e
,
, então a derivada parcial de
em relação a
é
onde
é a derivada parcial de
em relação a
(com
fixa) e
é a derivada parcial de
em relação a
(com
fixa). Aqui
é parâmetro (constante) durante a diferenciação em
.
Passo 3
Calcular
e
para
. Vou explicar passo a passo.
Primeiro, pense em
como função composta
com
. A derivada de
em relação a
é
.
- Para
: trata-se de diferenciar em relação a , mantendo fixo. A derivada de em relação a (com constante) é (regra da derivada de um quociente com o numerador constante). Logo,
- Para
: deriva-se em relação a , com fixo. A derivada de em relação a é . Então
Passo 4
Calcular
e
. Como
é constante:
(Isto é direto: multiplicamos a constante pela derivada de
, que é
.)
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia e substituindo
:
Colocando
em evidência e simplificando:
e escrevendo com denominador comum
,
Passo 6
Agora substituímos
e
no fator entre parênteses para ver se sobra algo:
Calcule termo a termo:
Somando:
Portanto o fator entre parênteses é zero, o que implica
Observação rápida: aqui usamos que
para poder escrever as expressões com
no denominador; mas ao final o numerador anulou-se identicamente para todas as
(com
e
tais que
), então a derivada parcial é
.
Passo 7
Agora o método (b): primeiro fazemos a substituição em
e só depois derivamos. Substituindo:
Note que o
cancelou! Assim
Essa expressão não depende de
(apenas de
), então ao derivar em relação a
, com
fixo, obtemos
Passo 8
Conclusão e checagem: ambos os métodos (a) regra da cadeia e (b) substituição seguida de diferenciação dão o mesmo resultado:
. É bom notar o motivo intuitivo:
ficou independente de
após as substituições, então
não varia quando mudamos
(mantendo
fixo). Parabéns — deu tudo certo!