(a) Ache a solução geral explícita da seguinte equação diferencial sep
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a solução geral explícita da seguinte equação diferencial:
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais, especificamente a técnica de separação de variáveis.
Passo 2
Vamos começar isolando
. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por
:
Dessa forma, conseguimos separar as variáveis
e
, o que é essencial para a próxima etapa.
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para deixar todas as expressões que envolvem
de um lado e as que envolvem
do outro. Multiplicamos ambos os lados por
e dividimos por
:
Isso prepara a equação para a integração de ambos os lados.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, o lado esquerdo:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de substituição. Seja
, então
. A integral fica:
Passo 5
Agora, integramos o lado direito:
Passo 6
Igualando as integrais dos dois lados, temos:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
. Tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Para isolar
, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Resposta
A solução geral explícita da equação diferencial é: