(a) Ache a solução geral explícita da seguinte equação diferencial sep
x^5 cdot ln (y(x)) cdot y^prime(x)=-2 y(x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a solução geral explícita da seguinte equação diferencial:
x^5 cdot ln (y(x)) cdot dydx = -2 y(x)
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais, especificamente a técnica de separação de variáveis.

Passo 2

Vamos começar isolando dydx = -2 yx^5 cdot ln(y) . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por :
Dessa forma, conseguimos separar as variáveis e , o que é essencial para a próxima etapa.

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para deixar todas as expressões que envolvem ln(y) cdot dyy = -2x^5 dx de um lado e as que envolvem do outro. Multiplicamos ambos os lados por e dividimos por :
Isso prepara a equação para a integração de ambos os lados.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, o lado esquerdo:
integral ln(y)y , dy
Para resolver essa integral, usamos a técnica de substituição. Seja integral u , du = 12 u^2 + C = 12 (ln(y))^2 + C , então . A integral fica:

Passo 5

Agora, integramos o lado direito:
integral -2x^5 , dx = -2 integral x^-5 , dx = -2 cdot ( x^-4-4 ) + C = 12 x^-4 + C

Passo 6

Igualando as integrais dos dois lados, temos:
12 (ln(y))^2 = 12 x^-4 + C
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2:
(ln(y))^2 = x^-4 + C

Passo 7

Agora, vamos resolver para ln(y) = raizx^-4 + C . Tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
y = e^raizx^-4 + C
Para isolar , aplicamos a função exponencial em ambos os lados:

Resposta

A solução geral explícita da equação diferencial é:
y(x) = e^raiz, dfrac1x^4 + C ,

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