Calcule os limites:
(a) lim x 0 1-e^2 xsen(x)

Passo 1

Neste exercício vamos calcular o limite
limxto01-e^2xsin(x)
O conteúdo aqui é limites de funções que geram forma indeterminada 0/0 e vamos usar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, avaliamo a forma da fração ao substituir x=0:
1-e^2cdot0=1-1=0,
sin(0)=0
Portanto temos uma forma 0/0, o que justifica o uso da regra de L’Hôpital.

Passo 3

Pela regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador separadamente:
Numerador: ddx[1-e^2x]=-2e^2x.
Denominador: ddx[sin(x)]=cos(x).

Passo 4

O limite passa a ser
limxto0-2e^2xcos(x)
Agora substituímos x=0:
-2e^0cos(0)=-2cdot11=-2

Resposta

-2

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