Considere os seguintes problemas:
II. Ache o valor mínimo da função
no paraboloide
.
II. Ache o valor mínimo da função
Passo 1
O enunciado pede para achar o valor mínimo de
sujeito à superfície
. O conteúdo é otimização com restrição, mas podemos eliminar a restrição por substituição e reduzir a um problema sem restrição em duas variáveis.
Passo 2
Substituímos
em
e definimos a função auxiliar de duas variáveis
Agora buscamos mínimo de
em
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
:
Para ponto crítico igualamos ambas a zero:
e
.
Passo 4
Resolvendo o sistema temos
Então
O ponto crítico é
.
Passo 5
Para verificar que é mínimo global, observamos a Hessiana de
:
que é definida positiva (autovalores iguais a 2). Logo temos mínimo.
Passo 6
Finalmente, o valor mínimo de
é
Resposta
O valor mínimo de f é -\tfrac12, atingido em (x,y,z)=(-\tfrac12,-\tfrac12,\tfrac12).