Considere os seguintes problemas:
II. Ache o valor mínimo da função f(x, y, z)=x+y+z no paraboloide z=x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor mínimo de f(x,y,z)=x+y+z sujeito à superfície z=x^2+y^2. O conteúdo é otimização com restrição, mas podemos eliminar a restrição por substituição e reduzir a um problema sem restrição em duas variáveis.

Passo 2

Substituímos z=x^2+y^2 em f e definimos a função auxiliar de duas variáveis
g(x,y)=x+y+x^2+y^2
Agora buscamos mínimo de g(x,y) em R^2.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de g:
partial gpartial x=1+2x,
partial gpartial y=1+2y
Para ponto crítico igualamos ambas a zero: 1+2x=0 e 1+2y=0.

Passo 4

Resolvendo o sistema temos
x=-tfrac12, y=-tfrac12
Então
z=x^2+y^2=tfrac14+tfrac14=tfrac12
O ponto crítico é (-tfrac12,-tfrac12,tfrac12).

Passo 5

Para verificar que é mínimo global, observamos a Hessiana de g:
Hg=2 & 00 & 2,
que é definida positiva (autovalores iguais a 2). Logo temos mínimo.

Passo 6

Finalmente, o valor mínimo de f é
f(-tfrac12,-tfrac12,tfrac12)=-tfrac12-tfrac12+tfrac12=-tfrac12

Resposta

O valor mínimo de f é -\tfrac12, atingido em (x,y,z)=(-\tfrac12,-\tfrac12,\tfrac12).

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