Obtenha a solução do PVI
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de quarta ordem:
E algumas condições iniciais:
Vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. A gente vai encontrar as raízes da equação característica, construir a solução geral e depois usar as condições iniciais para encontrar os coeficientes específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação da forma:
a equação característica é:
No nosso caso, substituindo os coeficientes:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação característica para encontrar os valores de
. Precisamos achar as raízes dessa equação quartica. Vamos tentar encontrar as raízes racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais, que nos dá candidatos baseados nos divisores do termo constante e do coeficiente líder.
Os candidatos são
.
Testando
:
Bingo!
é uma raiz. Então, podemos fatorar
da equação.
Passo 4
Vamos realizar a divisão polinomial ou usar a fatoração para simplificar a equação característica. Dividindo
por
, obtemos:
Agora, precisamos encontrar as raízes do polinômio cúbico
.
Passo 5
Aplicando novamente o Teorema das Raízes Racionais no polinômio cúbico
, os candidatos são
.
Testando
:
Então,
é outra raiz. Podemos fatorar
do polinômio cúbico:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 7
Agora, temos todas as raízes da equação característica:
-
(multiplicidade 1) -
(multiplicidade 1) -
(multiplicidade 1) -
(multiplicidade 1)
Como todas as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
onde
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 8
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
.
Primeiro, substituímos
na solução geral:
Passo 9
Agora, vamos encontrar a primeira derivada da solução geral:
Aplicando
:
Passo 10
Em seguida, encontramos a segunda derivada:
Aplicando
:
Passo 11
Agora, a terceira derivada:
Aplicando
:
Passo 12
Agora, temos um sistema de 4 equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores das constantes.
Passo 13
Primeiro, subtraímos a equação (1) da equação (2):
Simplificando:
Passo 14
Fazemos a mesma coisa com a equação (3) menos a equação (1):
Simplificando:
Passo 15
E com a equação (4) menos a equação (1):
Simplificando:
Passo 16
Agora, temos um sistema mais simples com as equações (5), (6) e (7):
Vamos resolver passo a passo. Primeiro, da equação (6), podemos expressar
em termos de
:
Passo 17
Substituindo
da equação (8) na equação (5):
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 18
Agora, substituímos
da equação (8) na equação (7):
Simplificando:
Multiplicando por 3:
Simplificando:
Passo 19
Agore, temos as equações (9) e (10):
Subtraindo a equação (9) da equação (10):
Simplificando:
Passo 20
Com
, substituímos na equação (9):
Simplificando:
Passo 21
Agora, voltamos à equação (8) para encontrar
:
Passo 22
Por fim, usamos a equação (1) para encontrar
:
Calculando:
Encontrando um denominador comum de 24:
Simplificando:
Resposta
A solução do PVI é: