Obtenha a solução do PVI y^(4)+y^prime prime prime-7 y^prime prime-y^prime+6 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=-2, y^prime prime prime(0)=-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de quarta ordem:
y^(4) + y''' - 7 y'' - y' + 6 y = 0
E algumas condições iniciais:
y(0) = 1, y'(0) = 0, y''(0) = -2, y'''(0) = -1
Vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. A gente vai encontrar as raízes da equação característica, construir a solução geral e depois usar as condições iniciais para encontrar os coeficientes específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação da forma:
a y^(4) + b y''' + c y'' + d y' + e y = 0,
a equação característica é:
a r^4 + b r^3 + c r^2 + d r + e = 0
No nosso caso, substituindo os coeficientes:
r^4 + r^3 - 7 r^2 - r + 6 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação característica para encontrar os valores de 1 + 1 - 7 - 1 + 6 = 0. Precisamos achar as raízes dessa equação quartica. Vamos tentar encontrar as raízes racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais, que nos dá candidatos baseados nos divisores do termo constante e do coeficiente líder.
Os candidatos são .
Testando :
Bingo! é uma raiz. Então, podemos fatorar da equação.

Passo 4

Vamos realizar a divisão polinomial ou usar a fatoração para simplificar a equação característica. Dividindo (r - 1)(r^3 + 2 r^2 - 5 r - 6) = 0 por , obtemos:
Agora, precisamos encontrar as raízes do polinômio cúbico .

Passo 5

Aplicando novamente o Teorema das Raízes Racionais no polinômio cúbico 8 + 8 - 10 - 6 = 0, os candidatos são (r - 2)(r^2 + 4 r + 3) = 0.
Testando :
Então, é outra raiz. Podemos fatorar do polinômio cúbico:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática r = -4 pm raiz16 - 122 = -4 pm 22. Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -4 + 22 = -1, r = -4 - 22 = -3
Então, as raízes são:

Passo 7

Agora, temos todas as raízes da equação característica:
  • y(t) = C1 e^t + C2 e^2 t + C3 e^-t + C4 e^-3 t, (multiplicidade 1)
  • (multiplicidade 1)
  • (multiplicidade 1)
  • (multiplicidade 1)
Como todas as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
onde são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 8

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes y(0) = C1 + C2 + C3 + C4 = 1 (1) .
Primeiro, substituímos na solução geral:

Passo 9

Agora, vamos encontrar a primeira derivada da solução geral:
y'(t) = C1 e^t + 2 C2 e^2 t - C3 e^-t - 3 C4 e^-3 t
Aplicando y'(0) = C1 + 2 C2 - C3 - 3 C4 = 0 (2) :

Passo 10

Em seguida, encontramos a segunda derivada:
y''(t) = C1 e^t + 4 C2 e^2 t + C3 e^-t + 9 C4 e^-3 t
Aplicando y''(0) = C1 + 4 C2 + C3 + 9 C4 = -2 (3) :

Passo 11

Agora, a terceira derivada:
y'''(t) = C1 e^t + 8 C2 e^2 t - C3 e^-t - 27 C4 e^-3 t
Aplicando y'''(0) = C1 + 8 C2 - C3 - 27 C4 = -1 (4) :

Passo 12

Agora, temos um sistema de 4 equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores das constantes.

Passo 13

Primeiro, subtraímos a equação (1) da equação (2):
Simplificando:
.

Passo 14

Fazemos a mesma coisa com a equação (3) menos a equação (1):
Simplificando:
.

Passo 15

E com a equação (4) menos a equação (1):
Simplificando:
.

Passo 16

Agora, temos um sistema mais simples com as equações (5), (6) e (7):
Vamos resolver passo a passo. Primeiro, da equação (6), podemos expressar em termos de :
.

Passo 17

Substituindo da equação (8) na equação (5):
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:
Simplificando:
.

Passo 18

Agora, substituímos da equação (8) na equação (7):
Simplificando:
Multiplicando por 3:
Simplificando:
.

Passo 19

Agore, temos as equações (9) e (10):
Subtraindo a equação (9) da equação (10):
Simplificando:

Passo 20

Com , substituímos na equação (9):
Simplificando:

Passo 21

Agora, voltamos à equação (8) para encontrar :

Passo 22

Por fim, usamos a equação (1) para encontrar :
Calculando:
Encontrando um denominador comum de 24:
Simplificando:

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = 118 e^t - 23 e^2 t + 512 e^-t - 18 e^-3 t

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