Ache uma solução geral para
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: "Ache uma solução geral para
". Informações relevantes:
- A equação está escrita em termos de
e é singular em (coeficiente de é ). Portanto não é possível estender uma solução regular através de ; a solução geral será válida em intervalos que não contenham , em particular em . - O objetivo é determinar a forma geral de
para (já que é ponto singular).
Passo 2
Vamos tentar uma solução do tipo potência de
, isto é assumir
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Essa é a técnica padrão para equações equidimensionais (Cauchy–Euler): quando os coeficientes têm potências compatíveis de
, testar
transforma a EDO em uma equação algébrica para
.
Passo 3
Calcule as derivadas de
. Lembre-se que para
fixo,
Passo 4
Substitua
na equação original:
Simplificando os fatores
(assumindo
) obtemos a equação característica para
:
Passo 5
Simplifique a equação característica:
Resolve-se a quadrática
. O discriminante é
Logo as raízes são complexas conjugadas:
Portanto
e
.
Passo 6
Quando as raízes da equação característica são complexas
(com
,
), as soluções básicas são
. Usando a identidade exponencial
as partes real e imaginária geram duas soluções reais independentes. Para o caso que temos
e
, a solução geral para
seria
Passo 7
Como o enunciado pede a solução para
, observação importante:
não está definido para
. Para trabalhar em
usa-se
. Além disso, para potências com exponente inteiro par (aqui
é inteiro e par no sentido que
é bem definida para
), podemos escrever de forma real usando
. Em geral, a forma real válida em um intervalo onde
tem sinal constante (aqui negativo) é feita trocando
por
. Assim, para
a solução geral real é
com
. Note que
porque a quarta potência elimina o sinal.
Passo 8
Comentário didático curto sobre por que isso funciona: mesmo que as potências complexas de
envolvam a escolha do argumento de
(para
o argumento é
), ao tomar combinações lineares das soluções complexas conjugadas e separar em parte real e imaginária obtemos funções reais expressas em termos de
. Essas funções são bem definidas e independentes em qualquer intervalo onde
não muda de sinal. Portanto é correto usar
e
para descrever a solução em
.
Passo 9
Observação final e lembrete prático: a equação é singular em
, então a solução geral não é definida em
. A expressão acima é válida em qualquer intervalo contido em
. As constantes
são determinadas por condições iniciais dadas em algum
.
Resposta
com
.