Ache uma solução geral para t \leq 0.
t^{2} y^{\prime \prime}(t)+9 t y^{\prime}(t)+17 y(t)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t^{2}y''(t)+9t y'(t)+17y(t)=0
e pede: "Ache uma solução geral para t\le 0". Informações relevantes:
  • A equação está escrita em termos de t e é singular em t=0 (coeficiente de y'' é t^2). Portanto não é possível estender uma solução regular através de t=0; a solução geral será válida em intervalos que não contenham 0, em particular em t<0.
  • O objetivo é determinar a forma geral de y(t) para t<0 (já que t=0 é ponto singular).

Passo 2

Vamos tentar uma solução do tipo potência de t, isto é assumir
y(t)=t^{r},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Essa é a técnica padrão para equações equidimensionais (Cauchy–Euler): quando os coeficientes têm potências compatíveis de t, testar t^{r} transforma a EDO em uma equação algébrica para r.

Passo 3

Calcule as derivadas de y(t)=t^{r}. Lembre-se que para r fixo,
y'(t)=r t^{r-1},\qquad y''(t)=r(r-1)t^{r-2}.

Passo 4

Substitua y, y', y'' na equação original:
t^{2}\bigl(r(r-1)t^{r-2}\bigr)+9t\bigl(r t^{r-1}\bigr)+17\bigl(t^{r}\bigr)=0.
Simplificando os fatores t^{r} (assumindo t\neq0) obtemos a equação característica para r:
r(r-1)+9r+17=0.

Passo 5

Simplifique a equação característica:
r^{2}-r+9r+17=r^{2}+8r+17=0.
Resolve-se a quadrática \,r^{2}+8r+17=0. O discriminante é
\Delta=8^{2}-4\cdot1\cdot17=64-68=-4.
Logo as raízes são complexas conjugadas:
r=\frac{-8\pm\sqrt{-4}}{2}=\frac{-8\pm 2i}{2}=-4\pm i.
Portanto r_{1}=-4+i e r_{2}=-4-i.

Passo 6

Quando as raízes da equação característica são complexas \alpha\pm i\beta (com \alpha,\beta\in\mathbb{R}, \beta\neq0), as soluções básicas são t^{\alpha\pm i\beta}. Usando a identidade exponencial
t^{\alpha+i\beta}=e^{(\alpha+i\beta)\ln t}=t^{\alpha}\bigl(\cos(\beta\ln t)+i\sin(\beta\ln t)\bigr),
as partes real e imaginária geram duas soluções reais independentes. Para o caso que temos \alpha=-4 e \beta=1, a solução geral para t>0 seria
y(t)=t^{-4}\bigl(C_{1}\cos(\ln t)+C_{2}\sin(\ln t)\bigr),\qquad t>0.

Passo 7

Como o enunciado pede a solução para t\le 0, observação importante: \ln t não está definido para t\le 0. Para trabalhar em t<0 usa-se \ln|t|. Além disso, para potências com exponente inteiro par (aqui -4 é inteiro e par no sentido que t^{-4}=1/t^{4} é bem definida para t<0), podemos escrever de forma real usando |t|. Em geral, a forma real válida em um intervalo onde t tem sinal constante (aqui negativo) é feita trocando \ln t por \ln|t|. Assim, para t<0 a solução geral real é
y(t)=|t|^{-4}\bigl(C_{1}\cos(\ln|t|)+C_{2}\sin(\ln|t|)\bigr),\qquad t<0,
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}. Note que |t|^{-4}=1/|t|^{4}=1/t^{4} porque a quarta potência elimina o sinal.

Passo 8

Comentário didático curto sobre por que isso funciona: mesmo que as potências complexas de t envolvam a escolha do argumento de t (para t<0 o argumento é \pi), ao tomar combinações lineares das soluções complexas conjugadas e separar em parte real e imaginária obtemos funções reais expressas em termos de \ln|t|. Essas funções são bem definidas e independentes em qualquer intervalo onde t não muda de sinal. Portanto é correto usar \ln|t| e |t|^{-4} para descrever a solução em t<0.

Passo 9

Observação final e lembrete prático: a equação é singular em t=0, então a solução geral não é definida em t=0. A expressão acima é válida em qualquer intervalo contido em (-\infty,0). As constantes C_{1},C_{2} são determinadas por condições iniciais dadas em algum t_{0}<0.

Resposta

y(t)=|t|^{-4}\bigl(C_{1}\cos(\ln|t|)+C_{2}\sin(\ln|t|)\bigr),\qquad t<0,
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

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