Resolva as equações diferenciais sujeitas às condições iniciais indicada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma de forma diferencial:
com a condição inicial
.
O que é pedido: encontrar a solução implícita da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
Informações relevantes que temos:
- O coeficiente de
é . - O coeficiente de
é . - A condição inicial é o ponto
.
Passo 2
Verificar se a forma é exata (essa é a abordagem natural aqui). Para isso calculamos as derivadas parciais:
Como
a forma diferencial é exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que
e a solução geral implícita será
.
(Comentário rápido sobre a ideia: uma forma
é exata quando é o diferencial total de alguma função
. Então integrar
em
e ajustar com uma função de
nos fornece
.)
Passo 3
Vamos encontrar
integrando
em relação a
, tratando
como constante:
Fazendo a antiderivada termo a termo (lembrando que
é constante nessa integração):
-
porque a derivada de é . -
. -
.
Portanto,
onde
é uma função arbitrária de
(apareceu porque a integração em
pode deixar uma “constante” que depende só de
).
Passo 4
Agora imponho a condição que
deve ser igual a
. Calculo
:
Igualo isso a
. Ao comparar:
Cancelando os termos iguais em ambos os lados, obtém-se
Passo 5
Integro
em relação a
para obter
. Sabendo que
, temos
onde
é uma constante. Podemos incorporar
na constante global da solução
, então tomamos
para escrever
.
Substituindo em
,
Passo 6
A solução geral implícita da equação diferencial é
ou seja
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e
:
-
, então anula-se. - O termo
com também é zero. -
com é zero. -
com é .
Logo o lado esquerdo vale
no ponto inicial, então
.