Resolva as equações diferenciais sujeitas às condições iniciais indicada.
\left(y^{2} \cos (x)-3 x^{2} y-2 x\right) d x+\left(2 y \operatorname{sen}(x)-x^{2}+\ln y\right) d y=0 ; y(0)=e

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma de forma diferencial:
\bigl(y^{2}\cos x-3x^{2}y-2x\bigr)\,dx+\bigl(2y\sin x - x^{3} + \ln y\bigr)\,dy=0
com a condição inicial \,y(0)=e.
O que é pedido: encontrar a solução implícita da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
Informações relevantes que temos:
  • O coeficiente de dx é M(x,y)=y^{2}\cos x-3x^{2}y-2x.
  • O coeficiente de dy é N(x,y)=2y\sin x - x^{3} + \ln y.
  • A condição inicial é o ponto (x,y)=(0,e).

Passo 2

Verificar se a forma é exata (essa é a abordagem natural aqui). Para isso calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\cos x-3x^{2}y-2x\bigr)=2y\cos x-3x^{2},
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2y\sin x - x^{3} + \ln y\bigr)=2y\cos x-3x^{2}.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x},
a forma diferencial é exata. Isso significa que existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y),\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y),
e a solução geral implícita será \Phi(x,y)=C.
(Comentário rápido sobre a ideia: uma forma M\,dx+N\,dy é exata quando é o diferencial total de alguma função \Phi. Então integrar M em x e ajustar com uma função de y nos fornece \Phi.)

Passo 3

Vamos encontrar \Phi(x,y) integrando M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int \bigl(y^{2}\cos x-3x^{2}y-2x\bigr)\,dx.
Fazendo a antiderivada termo a termo (lembrando que y é constante nessa integração):
  • \displaystyle \int y^{2}\cos x\,dx = y^{2}\sin x porque a derivada de \sin x é \cos x.
  • \displaystyle \int -3x^{2}y\,dx = -y\int 3x^{2}\,dx = -y x^{3}.
  • \displaystyle \int -2x\,dx = -x^{2}.
Portanto,
\Phi(x,y)=y^{2}\sin x - y x^{3} - x^{2} + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (apareceu porque a integração em x pode deixar uma “constante” que depende só de y).

Passo 4

Agora imponho a condição que \partial \Phi/\partial y deve ser igual a N(x,y). Calculo \partial \Phi/\partial y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=2y\sin x - x^{3} + h'(y).
Igualo isso a N(x,y)=2y\sin x - x^{3} + \ln y. Ao comparar:
2y\sin x - x^{3} + h'(y)=2y\sin x - x^{3} + \ln y.
Cancelando os termos iguais em ambos os lados, obtém-se
h'(y)=\ln y.

Passo 5

Integro h'(y)=\ln y em relação a y para obter h(y). Sabendo que \displaystyle\int \ln y\,dy = y\ln y - y, temos
h(y)=y\ln y - y + C_1,
onde C_1 é uma constante. Podemos incorporar C_1 na constante global da solução \Phi=C, então tomamos h(y)=y\ln y - y para escrever \Phi.
Substituindo em \Phi,
\Phi(x,y)=y^{2}\sin x - y x^{3} - x^{2} + y\ln y - y.

Passo 6

A solução geral implícita da equação diferencial é
\Phi(x,y)=C,
ou seja
y^{2}\sin x - x^{3}y - x^{2} + y\ln y - y = C.
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=e. Substituindo x=0 e y=e:
  • \sin 0=0, então y^{2}\sin x anula-se.
  • O termo -x^{3}y com x=0 também é zero.
  • -x^{2} com x=0 é zero.
  • y\ln y - y com y=e é e\cdot 1 - e =0.
Logo o lado esquerdo vale 0 no ponto inicial, então C=0.

Resposta

y^{2}\sin x - x^{3}y - x^{2} + y\ln y - y = 0

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