Nos itens abaixo encontre uma solução geral para a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que é pedido: encontrar a solução geral
dessa equação.
Informações explícitas que temos:
Informações explícitas que temos:
- A equação é homogênea (lado direito igual a
). - É uma equação de ordem
(há derivada até a terceira). - Os coeficientes são constantes:
para , para , para e para .
Passo 2
Escolha do método (explicando de forma simples e sem jargão): para equações homogêneas com coeficientes constantes é muito útil tentar soluções da forma exponencial
. A ideia prática é: se a solução for do tipo exponencial, ao derivar apenas aparece o mesmo expoente multiplicado por potências de
, o que transforma a equação diferencial em uma equação polinomial em
. Essa equação polinomial é chamada equação característica; suas raízes determinam os expoentes das soluções exponenciais. Vou aplicar esse procedimento passo a passo.
Passo 3
Testando a tentativa
. Calcular as derivadas:
Substituindo na equação dada:
Fatorando
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 4
Resolver o polinômio característico. Procuramos raízes racionais simples testando divisores de
:
.
Testando :
Testando
logo
é raiz. Então o polinômio se fatoriza por
. Fazer a divisão sintética ou divisão polinomial para obter o quociente:
Dividindo
por
obtemos o quadrático
Assim
Passo 5
Resolver o quadrático
usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). A fórmula geral para
é
onde
,
,
. Calcule o discriminante:
Portanto as raízes são
Então as três raízes reais são
Passo 6
Construir a solução geral a partir das raízes distintas reais. Quando a equação característica tem raízes reais simples
, as soluções fundamentais são
e a solução geral é combinação linear dessas:
onde
são constantes arbitrárias (reais) que serão determinadas por condições iniciais, se houver. Aplicando as raízes encontradas:
Comentário didático curto: cada termo vem de uma raiz
da equação característica; como as raízes são distintas, não precisamos multiplicar por potências de
. Se houvesse raiz múltipla, os termos associados teriam fatores
,
, etc.