Nos itens abaixo encontre uma solução geral para a equação diferencial dada.
y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+4y=0
O que é pedido: encontrar a solução geral y(x) dessa equação.
Informações explícitas que temos:
  • A equação é homogênea (lado direito igual a 0).
  • É uma equação de ordem 3 (há derivada até a terceira).
  • Os coeficientes são constantes: 1 para y^{\prime\prime\prime}, 1 para y^{\prime\prime}, -6 para y^\prime e 4 para y.

Passo 2

Escolha do método (explicando de forma simples e sem jargão): para equações homogêneas com coeficientes constantes é muito útil tentar soluções da forma exponencial \,y(x)=e^{rx}\,. A ideia prática é: se a solução for do tipo exponencial, ao derivar apenas aparece o mesmo expoente multiplicado por potências de r, o que transforma a equação diferencial em uma equação polinomial em r. Essa equação polinomial é chamada equação característica; suas raízes determinam os expoentes das soluções exponenciais. Vou aplicar esse procedimento passo a passo.

Passo 3

Testando a tentativa y(x)=e^{rx}. Calcular as derivadas:
y = e^{rx},\qquad y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^2 e^{rx},\qquad y''' = r^3 e^{rx}.
Substituindo na equação dada:
r^3 e^{rx} + r^2 e^{rx} - 6r e^{rx} + 4 e^{rx} = 0.
Fatorando e^{rx} (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
r^3 + r^2 - 6r + 4 = 0.

Passo 4

Resolver o polinômio característico. Procuramos raízes racionais simples testando divisores de 4: \pm1,\pm2,\pm4.
Testando r=1:
1^3 + 1^2 - 6\cdot1 + 4 = 1+1-6+4 = 0,
logo r=1 é raiz. Então o polinômio se fatoriza por (r-1). Fazer a divisão sintética ou divisão polinomial para obter o quociente:
Dividindo r^3 + r^2 - 6r + 4 por (r-1) obtemos o quadrático
r^2 + 2r - 4.
Assim
r^3 + r^2 - 6r + 4 = (r-1)\,(r^2+2r-4).

Passo 5

Resolver o quadrático r^2+2r-4=0 usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). A fórmula geral para ar^2+br+c=0 é
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},
onde a=1, b=2, c=-4. Calcule o discriminante:
\Delta = b^2-4ac = 2^2 - 4\cdot1\cdot(-4) = 4 + 16 = 20.
Portanto as raízes são
r = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}.
Então as três raízes reais são
r_1 = 1,\qquad r_2 = -1 + \sqrt{5},\qquad r_3 = -1 - \sqrt{5}.

Passo 6

Construir a solução geral a partir das raízes distintas reais. Quando a equação característica tem raízes reais simples r_1,r_2,r_3, as soluções fundamentais são e^{r_1 x}, e^{r_2 x}, e^{r_3 x} e a solução geral é combinação linear dessas:
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x},
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias (reais) que serão determinadas por condições iniciais, se houver. Aplicando as raízes encontradas:
y(x)=C_1 e^{x} + C_2 e^{(-1+\sqrt{5})x} + C_3 e^{(-1-\sqrt{5})x}.
Comentário didático curto: cada termo vem de uma raiz r da equação característica; como as raízes são distintas, não precisamos multiplicar por potências de x. Se houvesse raiz múltipla, os termos associados teriam fatores x, x^2, etc.

Resposta

y(x)=C_1 e^{x} + C_2 e^{(-1+\sqrt{5})x} + C_3 e^{(-1-\sqrt{5})x}

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