Ache a soluçao geral da seguinte equação diferencial
y^prime+y=t e^t+1. Resp: y=c e^-t+1+t^2 e^-t / 2.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo $ y’ + y = t e^{t} + 1 $. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar algo chamado fator integrante, que vai ajudar a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão das equações lineares: $ y’ + P(t) y = Q(t) $. Aqui, $ P(t) = 1 $ e $ Q(t) = t e^{t} + 1 $. Isso nos ajuda a identificar o que precisamos para encontrar o fator integrante.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Substituindo $ P(t) = 1 $:
P(t) = 1

Passo 4

Em seguida, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ e^{t} $:
e^t
Simplificando:
e^t y' + e^t y = e^t cdot t e^t + e^t cdot 1

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto $ \mu(t) y $:
mu(t) y
Isso facilita muito a próxima etapa.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ t $:
t
Integrando o lado esquerdo:
integral ddt (e^t y) , dt = integral (t e^2t + e^t) , dt

Passo 7

Agora, precisamos resolver as integrais do lado direito. Começando com $ \int t e^{2t} , dt $, usamos a técnica de integração por partes:
integral t e^2t , dt
E para $ \int e^{t} , dt $:
integral t e^2t , dt = t e^2t2 - e^2t4 + C
Juntando tudo:
integral e^t , dt

Passo 8

Finalmente, vamos resolver para $ y $ dividindo tudo por $ e^{t} $:
y
Simplificando:
e^t
Podemos também escrever de uma forma mais simplificada:
y = t e^2t2 e^t - e^2t4 e^t + e^te^t + C e^-t

Resposta

A solução geral da equação é:
y = C e^-t + 1 + t^2 e^-t2

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