Ache a soluçao geral da seguinte equação diferencial
. Resp:
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Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo $ y’ + y = t e^{t} + 1 $. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar algo chamado fator integrante, que vai ajudar a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão das equações lineares: $ y’ + P(t) y = Q(t) $. Aqui, $ P(t) = 1 $ e $ Q(t) = t e^{t} + 1 $. Isso nos ajuda a identificar o que precisamos para encontrar o fator integrante.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Substituindo $ P(t) = 1 $:
Passo 4
Em seguida, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ e^{t} $:
Simplificando:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto $ \mu(t) y $:
Isso facilita muito a próxima etapa.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ t $:
Integrando o lado esquerdo:
Passo 7
Agora, precisamos resolver as integrais do lado direito. Começando com $ \int t e^{2t} , dt $, usamos a técnica de integração por partes:
E para $ \int e^{t} , dt $:
Juntando tudo:
Passo 8
Finalmente, vamos resolver para $ y $ dividindo tudo por $ e^{t} $:
Simplificando:
Podemos também escrever de uma forma mais simplificada:
Resposta
A solução geral da equação é: