Determine se a função dada é periódica e em caso afirmativo determine seu período fundamental. Faça uma esboço do gráfico de tais funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a função
é periódica. Se for, temos que encontrar o período fundamental dela e fazer um esboço do gráfico. Vamos usar conceitos de trigonometria e periodicidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função é periódica se ela se repete em intervalos iguais ao longo do eixo
. O menor intervalo positivo em que isso acontece é chamado de período fundamental.
Passo 3
Agora, vamos analisar as partes da função:
e
. A função
tem período
, porque
. Já
tem período
, já que
.
Passo 4
Para a soma de duas funções periódicas ser periódica, o período fundamental da função resultante é o menor múltiplo comum (MMC) dos períodos das funções individuais. Então, vamos encontrar o MMC de
e
.
Passo 5
O MMC de
e
é
, porque
é múltiplo de
. Isso significa que a função
se repete a cada
unidades.
Passo 6
Portanto, a função é periódica e seu período fundamental é
.
Passo 7
Para fazer o esboço do gráfico, podemos notar que
oscila entre -1 e 1, e
oscila mais rápido, com o triplo da frequência. A soma dessas duas funções resultará em uma onda que combina essas características, repetindo-se a cada
.
Resposta
A função
é periódica com período fundamental igual a
. O gráfico dessa função é uma combinação das oscilações de
e
, repetindo-se a cada
unidades.