Determine se a função dada é periódica e em caso afirmativo determine seu período fundamental. Faça uma esboço do gráfico de tais funções.
cos (x)+sen(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a função é periódica. Se for, temos que encontrar o período fundamental dela e fazer um esboço do gráfico. Vamos usar conceitos de trigonometria e periodicidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função é periódica se ela se repete em intervalos iguais ao longo do eixo . O menor intervalo positivo em que isso acontece é chamado de período fundamental.

Passo 3

Agora, vamos analisar as partes da função: e . A função tem período , porque . Já tem período , já que .

Passo 4

Para a soma de duas funções periódicas ser periódica, o período fundamental da função resultante é o menor múltiplo comum (MMC) dos períodos das funções individuais. Então, vamos encontrar o MMC de e .

Passo 5

O MMC de e é , porque é múltiplo de . Isso significa que a função se repete a cada unidades.

Passo 6

Portanto, a função é periódica e seu período fundamental é .

Passo 7

Para fazer o esboço do gráfico, podemos notar que oscila entre -1 e 1, e oscila mais rápido, com o triplo da frequência. A soma dessas duas funções resultará em uma onda que combina essas características, repetindo-se a cada .

Resposta

A função é periódica com período fundamental igual a . O gráfico dessa função é uma combinação das oscilações de e , repetindo-se a cada unidades.

Exercícios relacionados