Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções têm concavidade voltada para cima ou para baixo.
f)
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Passo 1
A questão pede para encontrar os pontos de inflexão de f(x)=2x³+3x²−12x e determinar onde a concavidade é voltada para cima ou para baixo. O conteúdo aqui é concavidade de funções, que envolve calcular a segunda derivada e analisar seu sinal.
Passo 2
Vamos primeiro encontrar a primeira derivada f’(x) e a segunda derivada f’’(x). Derivando, temos:
f’(x)=6x²+6x−12
Derivando de novo, obtemos:
f’’(x)=12x+6
f’(x)=6x²+6x−12
Derivando de novo, obtemos:
f’’(x)=12x+6
Passo 3
Para achar o(s) ponto(s) de inflexão, igualamos a segunda derivada a zero e resolvemos para x:
12x+6=0
12x=−6
x=−1/2
12x+6=0
12x=−6
x=−1/2
Passo 4
Agora analisamos o sinal de f’’(x)=12x+6 para ver onde a função é côncava para cima (f’’>0) ou para baixo (f’’<0):
Para x<−1/2, digamos x=−1, temos f’’(−1)=12(−1)+6=−6<0, então é côncava para baixo em (−∞,−1/2).
Para x>−1/2, digamos x=0, temos f’’(0)=6>0, então é côncava para cima em (−1/2,∞).
Para x<−1/2, digamos x=−1, temos f’’(−1)=12(−1)+6=−6<0, então é côncava para baixo em (−∞,−1/2).
Para x>−1/2, digamos x=0, temos f’’(0)=6>0, então é côncava para cima em (−1/2,∞).
Passo 5
Por fim, para determinar o ponto de inflexão completo, calculamos f(−1/2):
f(−1/2)=2(−1/2)³+3(−1/2)²−12(−1/2)
f(−1/2)=2(−1/8)+3(1/4)+6
f(−1/2)=−1/4+3/4+6=1/2+6=13/2
Logo o ponto de inflexão é (−1/2,13/2).
f(−1/2)=2(−1/2)³+3(−1/2)²−12(−1/2)
f(−1/2)=2(−1/8)+3(1/4)+6
f(−1/2)=−1/4+3/4+6=1/2+6=13/2
Logo o ponto de inflexão é (−1/2,13/2).
Resposta
Ponto de inflexão: (−1/2,13/2).
Concavidade para baixo em (−∞,−1/2) e para cima em (−1/2,∞).
Concavidade para baixo em (−∞,−1/2) e para cima em (−1/2,∞).