calcule a derivada:
h(z)=raiz5 z-8 no ponto z=3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função $ h(z) = \sqrt{5z - 8} $ no ponto $ z = 3 $.
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções compostas e radicais. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. Assim, podemos expressar $ h(z) $ como:
h(z)

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar a derivada. A regra da cadeia é usada quando temos uma função dentro de outra função.
Se considerarmos $ f(u) = u^{1/2} $ e $ u = 5z - 8 $, então $ h(z) = f(u) $.

Passo 4

Primeiro, derivamos a função exterior $ f(u) $ em relação a $ u $:
f(u)
Em seguida, derivamos a função interior $ u = 5z - 8 $ em relação a $ z $:
u

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ h(z) $ é o produto de $ f’(u) $ e $ u’(z) $:
h(z)

Passo 6

Simplificando a expressão da derivada:
h'(z) = 52raiz5z - 8

Passo 7

Finalmente, substituímos $ z $ por 3 na expressão da derivada para encontrar $ h’(3) $:
z
Podemos racionalizar o denominador, multiplicando numerador e denominador por $ \sqrt{7} $:
h'(3)

Resposta

A derivada de $ h(z) $ no ponto $ z = 3 $ é:
h(z)

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