calcule a derivada:
no ponto
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função $ h(z) = \sqrt{5z - 8} $ no ponto $ z = 3 $.
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções compostas e radicais. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. Assim, podemos expressar $ h(z) $ como:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar a derivada. A regra da cadeia é usada quando temos uma função dentro de outra função.
Se considerarmos $ f(u) = u^{1/2} $ e $ u = 5z - 8 $, então $ h(z) = f(u) $.
Passo 4
Primeiro, derivamos a função exterior $ f(u) $ em relação a $ u $:
Em seguida, derivamos a função interior $ u = 5z - 8 $ em relação a $ z $:
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ h(z) $ é o produto de $ f’(u) $ e $ u’(z) $:
Passo 6
Simplificando a expressão da derivada:
Passo 7
Finalmente, substituímos $ z $ por 3 na expressão da derivada para encontrar $ h’(3) $:
Podemos racionalizar o denominador, multiplicando numerador e denominador por $ \sqrt{7} $:
Resposta
A derivada de $ h(z) $ no ponto $ z = 3 $ é: