Ache a solução geral das seguintes equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes:
9 y^prime prime-12 y^prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
9,y'' - 12,y' + 4,y = 0
Conteúdo: equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica para encontrar as raízes e, a partir delas, montar a solução geral.

Passo 2

Montamos a equação característica substituindo y = e^r x na equação diferencial, o que dá
9,r^2 - 12,r + 4 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante da equação quadrática:
De<a = (-12)^2 - 4cdot 9 cdot 4 = 144 - 144 = 0
Como De<a=0, existe uma raiz real dupla, dada por
r = 122cdot 9 = 1218 = 23

Passo 4

Para raiz dupla ,r=tfrac23,, a forma geral da solução é
y(x) = C1 e^r x + C2,x,e^r x
Substituindo r=tfrac23 obtemos a solução geral.

Resposta

y(x) = C1 e^tfrac23x + C2 ,x,e^tfrac23x

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