Resolva as equações diferenciais indicadas
y^prime+1x y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear
y' + 1x,y = 0,
definida em um intervalo onde xneq0. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

No formato padrão
y' + P(x),y = Q(x)
temos P(x)=1x e Q(x)=0. O fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral 1x,dxr) = expl(ln|x|r) = |x|
Para simplificar, consideramos x>0, de modo que mu(x)=x.

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x)=x obtemos
x,y' + y = 0
Repare que o lado esquerdo é justamente a derivada do produto x,y:
ddxl(x,yr) = x,y' + y

Passo 4

Como ddx(x,y)=0, integramos em x para achar
x,y = C,
onde C é a constante de integração. Portanto
y = Cx

Resposta

y = Cx,
com C constante arbitrária.

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