Ache a solução geral das seguintes equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes:
2 y^prime prime+5 y^prime+-3 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2y'' + 5y' - 3y = 0
O conteúdo é o método da equação característica: transformamos a ODE numa equação algébrica em r e usamos as raízes para montar a solução.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada, trocando ymapsto e^rx:
2r^2 + 5r - 3 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante da quadrática em r:
De<a = 5^2 - 4cdot2cdot(-3) = 25 + 24 = 49
As raízes são
r = -5 pm raiz492cdot2 = -5 pm 74,
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r1 = -5 + 74 = tfrac12, r2 = -5 - 74 = -3

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da ODE é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x

Resposta

y(x) = C1 e^x2 + C2 e^-3x

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