Verifique que U(x, t)=Sen(x-a t)+ln (x+i a t), a constante real, é solução da equação da onda: ut t(x, t)=a^2 ux x(x, t)

Passo 1

O enunciado dá a função
U(x,t)=sin(x - a,t);+;lnl(x + i,a,tr),
onde a é constante real, e pede para verificar se ela satisfaz a equação da onda unidimensional
Utt(x,t)=a^2,Uxx(x,t)
Para isso, vamos calcular Ux e Uxx (derivadas em x) e Ut e Utt (derivadas em t), e comparar.

Passo 2

Cálculo de Ux e Uxx.
Como
partialpartial xsin(x - a,t)=cos(x - a,t), partialpartial xlnl(x + i,a,tr)=1x + i,a,t,
temos
Ux=cos(x - a,t)+1x + i,a,t
Agora derivando de novo em x:
partialpartial xcos(x - a,t)=-sin(x - a,t), partialpartial x1x + i,a,t =-1l(x + i,a,tr)^2,
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Uxx=-sin(x - a,t);-;1l(x + i,a,tr)^2

Passo 3

Cálculo de Ut e Utt.
Temos
partialpartial tsin(x - a,t) =-a,cos(x - a,t), partialpartial tlnl(x + i,a,tr) =i,ax + i,a,t,
portanto
Ut=-a,cos(x - a,t);+;i,ax + i,a,t
Derivando de novo em t:
partialpartial tl(-acos(x - a,t)r) =-al(-sin(x - a,t)r),(-a) =-a^2sin(x - a,t),
partialpartial ti,ax + i,a,t =i,a!cdot!l(-i,a(x + i,a,t)^2r) =-(i,a)^2(x + i,a,t)^2 =a^2(x + i,a,t)^2,
então
Utt=-a^2sin(x - a,t);+;a^2l(x + i,a,tr)^2

Passo 4

Comparando Utt com a^2Uxx, temos
a^2Uxx =a^2l(-sin(x - a,t)-1(x + i,a,t)^2r) =-a^2sin(x - a,t);-;a^2(x + i,a,t)^2
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Utt-a^2Uxx =l(-a^2sin(x - a,t)+tfraca^2(x + i,a,t)^2r) -l(-a^2sin(x - a,t)-tfraca^2(x + i,a,t)^2r) =2,a^2(x + i,a,t)^2neq0
Portanto não se verifica Utt=a^2Uxx.

Resposta

A função U(x,t) não satisfaz a equação da onda, pois
Utt-a^2Uxx =2,a^2l(x + i,a,tr)^2neq0

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