Ache a solução geral das seguintes equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes:
y^prime prime-2 y^prime+54 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + tfrac54y = 0
e pede a solução geral. Para resolver, vamos usar o método da equação característica, que transforma a ODE numa equação algébrica de segundo grau.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à ODE:
r^2 - 2r + tfrac54 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante dessa equação:
De<a = (-2)^2 - 4cdot1cdottfrac54 = 4 - 5 = -1
Como De<a<0, as raízes são complexas conjugadas:
r = 2 pm raiz-12 = 1 pm i2

Passo 4

Quando as raízes da característica são r = alpha pm ibeta, a solução geral da ODE é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)
Aqui alpha = 1 e beta = tfrac12, logo

Resposta

y(x) = e^xl(C1cosl(tfracx2r) + C2sinl(tfracx2r)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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