Verifique que omega(x, t)=1raizt e^-x^24 k t, t>0 e k constante real, é solução da equação do calor: wt(x, t)-k partial^2 wpartial x^2(x, t)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a função
omega(x,t)=1raiztexp!l(-x^24ktr),
com t>0 e k constante real, e pede para verificar que ela satisfaz a equação do calor
omegat(x,t)-k,omegaxx(x,t)=0
Para isso, vamos usar as regras de derivação (produto e cadeia) para computar omegat e omegaxx e depois mostrar que a combinação acima se anula.

Passo 2

Calcular omegat. Escrevemos omega=A(t),B(x,t) com
A(t)=t^-1/2, B(x,t)=exp!l(-x^24ktr)
Então
A'(t)=-12,t^-3/2,
e pelo efeito da cadeia no expoente
partialpartial tl(-x^24ktr) =x^24k,t^2,
logo
Bt =Bcdotx^24k,t^2
Pela regra do produto,
omegat =A',B + A,Bt =omegal(-12t+x^24k,t^2r)

Passo 3

Calcular omegaxx. Usamos direto a forma omega=A,B e só variamos em x. Como A independe de x,
omegax =A,Bx, Bx =Bcdotddxl(-x^24ktr) =-Bx2kt,
então
omegax =omegal(-x2ktr)
Agora derivamos de novo em x:
omegaxx =partialpartial xl[omegal(-x2ktr)r] =omegaxl(-x2ktr) +omegal(-12ktr)
Como omegax=omega(-x/(2kt)), obtemos
omegaxx =omegal[x^24k^2t^2-12ktr]

Passo 4

Substituir em omegat-k,omegaxx:
omegat-k,omegaxx =omegal(-12t+x^24k,t^2r) -k,omegal(x^24k^2t^2-12ktr)
Fatorando omega e simplificando:
-12t+x^24k,t^2 -x^24k,t^2 +12t =0
Logo
omegat-k,omegaxx=0,
o que mostra que omega é solução da equação do calor.

Resposta

A função omega(x,t)=tfrac1raizte^-x^2/(4kt) satisfaz omegat-k,omegaxx=0, logo é solução da equação do calor.

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