Ache a solução geral das seguintes equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes:
y^prime prime-7 y^prime+12 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 7y' + 12y = 0
O conteúdo envolvido é a solução de ODEs lineares homogêneas com coeficientes constantes, e vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^rx e obtemos o polinômio característico:
r^2 - 7r + 12 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática:
r = 7 pm raiz49 - 482 = 7 pm 12,
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r1 = 4, r2 = 3

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da ODE é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^4x + C2 e^3x

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