Ache a solução geral das seguintes equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes:
y^prime prime-4 y^prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 4y = 0
Para resolver, vamos montar o polinômio característico, encontrar suas raízes e, a partir delas, escrever a solução geral.

Passo 2

Assumindo uma solução do tipo y(x)=e^lambda x, obtemos o polinômio característico
lambda^2 - 4lambda + 4 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante
De<a = (-4)^2 - 4cdot1cdot4 = 16 - 16 = 0
Como De<a=0, há uma raiz real dupla dada por
lambda = 42 = 2

Passo 4

Para uma raiz dupla lambda, a forma da solução geral é
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^lambda x
Substituindo lambda=2, concluímos que
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^2x

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 x e^2x

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