Determine a solução do P.V.I.:
diário+(sen t) y=0 \quad y(0)=2.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'(t) + sin(t),y(t) = 0,
com a condição y(0)=2. O conteúdo é EDO de primeira ordem linear homogênea, que podemos resolver por separação de variáveis ou fator integrante.

Passo 2

Supondo y(t)neq0, reescrevemos a equação como
dydt = -sin(t),y,
e separamos as variáveis:
dyy = -sin(t),dt

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dyy = integral -sin(t),dt
lnlvert yrvert = cos(t) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Exponentiando, obtemos a solução geral
y(t) = K,e^cos(t),
com K = pm e^C. Ajustamos K pela condição inicial y(0)=2:
2 = K,e^cos(0) = K,e^1 Longrightarrow K = 2e^-1

Passo 5

Substituindo K na expressão geral, a solução particular fica
y(t) = 2e^-1,e^cos(t) = 2,e^cos(t)-1

Resposta

y(t) = 2,e^cos(t)-1

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