Seja a sequência an definida por:
an=3 n^2+2 n-1n^2+4
a) Mostre que lim n infty an existe.
b) Calcule o limite.

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = 3n^2 + 2n - 1n^2 + 4
e pede dois pontos: (a) mostrar que limntoinftyan existe e (b) calcular esse limite. Vamos usar o fato de que, para sequências racionais em que o grau do numerador é igual ao do denominador, o limite existe e é dado pela razão dos coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 2

Para evidenciar o comportamento de an quando ntoinfty, dividimos numerador e denominador por n^2:
an = 3n^2 + 2n - 1n^2 + 4 = n^2l(3 + tfrac2n - tfrac1n^2r)n^2l(1 + tfrac4n^2r) = 3 + tfrac2n - tfrac1n^21 + tfrac4n^2
Dessa forma, à medida que n cresce, os termos tfrac2n, tfrac1n^2 e tfrac4n^2 tendem a zero, indicando que a sequência converge a um valor finito. Logo, o limite existe.

Passo 3

Tomando o limite na forma simplificada, temos
limntoinftyan = limntoinfty 3 + tfrac2n - tfrac1n^21 + tfrac4n^2 = 3 + 0 - 01 + 0 = 3

Resposta

O limite existe e vale 3.

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