Seja a sequência
definida por:
a) Mostre que
existe.
b) Calcule o limite.
b) Calcule o limite.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede dois pontos: (a) mostrar que
existe e (b) calcular esse limite. Vamos usar o fato de que, para sequências racionais em que o grau do numerador é igual ao do denominador, o limite existe e é dado pela razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Passo 2
Para evidenciar o comportamento de
quando
, dividimos numerador e denominador por
:
Dessa forma, à medida que
cresce, os termos
,
e
tendem a zero, indicando que a sequência converge a um valor finito. Logo, o limite existe.
Passo 3
Tomando o limite na forma simplificada, temos
Resposta
O limite existe e vale
.