Ache a solução geral das seguintes equações lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes:
y^prime prime+2 y^prime+y=(6+9 t) e^2 t

Passo 1

O enunciado dá a equação
y'' + 2y' + y = (6 + 9t)e^2t,
que é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois um particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 2y' + y = 0
Formamos o polinômio característico r^2 + 2r + 1 = 0, que tem raiz dupla r = -1. Logo a solução geral homogênea é
yh(t) = l(C1 + C2,tr)e^-t

Passo 3

Para achar uma solução particular yp de
y'' + 2y' + y = (6 + 9t)e^2t,
observamos que o lado direito é um polinômio de grau 1 em t multiplicado por e^2t, e r=2 não é raiz do característico, então tentamos
yp(t) = (a,t + b)e^2t
Calculamos as derivadas:
yp' = l(a + 2(a,t + b)r)e^2t = (2a,t + a + 2b)e^2t,
yp'' = l(2a + 2(2a,t + a + 2b)r)e^2t = (4a,t + 4a + 4b)e^2t
Substituindo em y''+2y'+y e igualando a (6 + 9t)e^2t, obtemos
(4a,t + 4a + 4b) + 2(2a,t + a + 2b) + (a,t + b) = 9a,t + (6a + 9b)
deve ser igual a 9t + 6. Assim
9a = 9implies a = 1, 6a + 9b = 6implies 6 + 9b = 6implies b=0
Logo
yp(t) = t,e^2t

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = l(C1 + C2,tr)e^-t + t,e^2t

Resposta

y(t) = l(C1 + C2,tr)e^-t + t,e^2t

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