Ache a solução geral das seguintes equações lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes:
Passo 1
O enunciado dá a equação
que é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois um particular por coeficientes indeterminados.
Passo 2
A equação homogênea associada é
Formamos o polinômio característico
, que tem raiz dupla
. Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Para achar uma solução particular
de
observamos que o lado direito é um polinômio de grau 1 em
multiplicado por
, e
não é raiz do característico, então tentamos
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
e igualando a
, obtemos
deve ser igual a
. Assim
Logo
Passo 4
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular: