Ache as soluções particulares das equações seguintes correspondentes às condições iniciais ou de contorno dadas.
4 y^prime prime-8 y^prime+5 y=0, y(0)=1, y^prime(pi / 4)=3

Passo 1

O enunciado pede a solução particular da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
4y''-8y'+5y=0
sujeita às condições
y(0)=1, y'l(tfracpi4r)=3
O conteúdo é “equações diferenciais lineares de segunda ordem com raízes complexas” e vamos usar o polinômio característico, a forma geral da solução e depois ajustar as constantes pelas condições.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico
4r^2-8r+5=0
As raízes são
r=8pmraiz64-808=8pm4i8=1pmi2
Logo a solução geral é
y(x)=e^xl(C1costfrac x2+C2sintfrac x2r)

Passo 3

Aplicamos y(0)=1. Como
y(0)=e^0l(C1cos0+C2sin0r)=C1,
temos
C1=1

Passo 4

Calculamos y'(x). Derivando
y(x)=e^xl(costfrac x2+C2sintfrac x2r)
vem
y'(x)=e^xl(costfrac x2+C2sintfrac x2r) +e^xl(-tfrac12sintfrac x2+C2cdottfrac12costfrac x2r)
Agrupando fator e^x:
y'(x)=e^xl[costfrac x2-tfrac12sintfrac x2 +C2l(sintfrac x2+tfrac12costfrac x2r)r]
Agora usamos y'(tfracpi4)=3. Em x=tfracpi4 temos
e^pi/4l[costfracpi8-tfrac12sintfracpi8 +C2l(sintfracpi8+tfrac12costfracpi8r)r]=3
Isolando C2:
costfracpi8-tfrac12sintfracpi8 +C2l(sintfracpi8+tfrac12costfracpi8r) =3e^-pi/4,
C2 =3e^-pi/4-cospi8+tfrac12sinpi8 sinpi8+tfrac12cospi8

Resposta

A solução particular é
y(x)=e^xl(costfrac x2 +3e^-pi/4-cospi8+tfrac12sinpi8 sinpi8+tfrac12cospi8 ,sintfrac x2r)

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