Suponha que f e h sejam contínuas e que integral-1^1 f(x) d x=5, integral1^4 f(x) d x=-2 e integral-1^1 g(x) d x=7. Determine:
(a) integral4^1 f(x) d x
(b) integral-1^1[2 f(x)+3 g(x)] d x
(c) integral-1^4 f(x) d x

Passo 1

O enunciado diz que f e g são contínuas e fornece
integral-1^1f(x),dx=5,
integral1^4f(x),dx=-2 e
integral-1^1g(x),dx=7.
O que vamos usar são três propriedades básicas de integrais definidas: reversão de limites, linearidade e aditividade sobre intervalos.

Passo 2

Para (a), aplicamos a propriedade de reversão de limites:
integrala^bf(x),dx = -integralb^af(x),dx
Logo,
integral4^1f(x),dx = -integral1^4f(x),dx = -l(-2r) = 2

Passo 3

Para (b), usamos a linearidade da integral:
integral-1^1l[2f(x)+3g(x)r],dx = 2integral-1^1f(x),dx + 3integral-1^1g(x),dx = 2cdot5 + 3cdot7 = 10 + 21 = 31

Passo 4

Para (c), usamos a aditividade em intervalos encadeados:
integral-1^4f(x),dx = integral-1^1f(x),dx + integral1^4f(x),dx = 5 + (-2) = 3

Resposta

(a) 2
(b) 31
(c) 3

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