Ache a solução geral das seguintes equações lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes:
y^prime prime+y=t cos t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y = tcos t
Aqui o conteúdo é EDO linear de segunda ordem. Para resolver, vamos decompor a solução em
y(t)=yh(t)+yp(t),
onde yh é a solução geral da homogênea associada e yp é uma particular da não homogênea.

Passo 2

Primeiro achamos yh resolvendo a homogênea
y'' + y = 0
A equação característica é
r^2 + 1 = 0Longrightarrow r=pm i,
logo
yh(t)=C1cos t + C2sin t,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora escolhemos um ansatz para yp pelo método dos coeficientes indeterminados. Como o termo fonte é tcos t e cos t,sin t já estão na homogênea, multiplicamos por um polinômio de grau 1 e por t. Assim propomos
yp(t)=l(A t^2 + B tr)cos t + l(C t^2 + D tr)sin t

Passo 4

Definindo
U(t)=A t^2 + B t, V(t)=C t^2 + D t,
usamos que
(D^2+1)l[Ucos t + Vsin tr] =(U'' + 2V')cos t + (V'' -2U')sin t
Aqui
U' = 2At + B, U''=2A, V'=2Ct+D, V''=2C,
então
(D^2+1)yp =l(2A + 2(2Ct+D)r)cos t + l(2C -2(2At+B)r)sin t

Passo 5

Igualando a não homogênea (D^2+1)yp = tcos t obtemos o sistema de coeficientes:
para cos t:
4C,t + (2A+2D) = 1,t + 0 Longrightarrow 4C=1,;2A+2D=0;
para sin t:
-4A,t + (2C-2B)=0,t +0 Longrightarrow 4A=0,;2C-2B=0
Resolvendo:
A=0, C=tfrac14, B=C=tfrac14, D=-A=0
Logo
yp(t)=tfrac14,tcos t + tfrac14,t^2sin t

Passo 6

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C1cos t + C2sin t + tfrac14,tcos t + tfrac14,t^2sin t

Resposta

boxedy(t)=C1cos t + C2sin t + 14,tcos t + 14,t^2sin t

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