Ache a solução geral das seguintes equações lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Aqui o conteúdo é EDO linear de segunda ordem. Para resolver, vamos decompor a solução em
onde
é a solução geral da homogênea associada e
é uma particular da não homogênea.
Passo 2
Primeiro achamos
resolvendo a homogênea
A equação característica é
logo
com
constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora escolhemos um ansatz para
pelo método dos coeficientes indeterminados. Como o termo fonte é
e
já estão na homogênea, multiplicamos por um polinômio de grau 1 e por
. Assim propomos
Passo 4
Definindo
usamos que
Aqui
então
Passo 5
Igualando a não homogênea
obtemos o sistema de coeficientes:
para :
para
para
:
Resolvendo:
Logo
Passo 6
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: