Ache a solução geral das seguintes equações lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes:
y^prime prime-4 y^prime+29 y=10 e^2 t sen 5 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 29y = 10 e^2tsin(5t)
O conteúdo de matéria envolve duas etapas principais: primeiro achar a solução da equação homogênea associada, e em seguida usar o método dos coeficientes indeterminados para obter uma particular.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea
yh'' -4yh' +29yh = 0
A equação característica é
r^2 -4r +29 = 0,
cuja solução é
r = 4 pm raiz16 -1162 = 2 pm 5i
Logo a solução homogênea é
yh(t) = e^2tl(C1cos(5t) + C2sin(5t)r)

Passo 3

Para achar uma solução particular usamos coeficientes indeterminados. Como o termo forçante é 10e^2tsin(5t) e e^2tsin(5t) já aparece em yh, há ressonância e devemos multiplicar por t. Proponho
yp(t) = t,e^2tl(Acos(5t) + Bsin(5t)r)
Para simplificar o cálculo, defino U(t)=t(Acos5t + Bsin5t), de modo que yp=e^2tU. Um cálculo direto mostra que
yp''-4yp'+29yp ;=; e^2tl(U'' + 25Ur)
Logo basta resolver
U'' + 25U = 10sin(5t)

Passo 4

Calculo U''. Como
U = A,tcos5t + B,tsin5t,
verifica‐se (após derivar duas vezes) que
U'' +25U = 10Bcos(5t)-10Asin(5t)
Queremos isto igual a 10sin(5t), isto é,
10Bcos(5t)-10Asin(5t) = 0cdotcos(5t) + 10sin(5t)
Comparando coeficientes obtemos 10B=0Rightarrow B=0 e -10A=10Rightarrow A=-1. Logo
yp(t) = -,t,e^2tcos(5t)

Passo 5

A solução geral é a soma de homogênea e particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = e^2tl(C1cos5t + C2sin5tr);-;t,e^2tcos5t

Resposta

boxedy(t) = e^2tl(C1cos(5t) + C2sin(5t)r) ;-; t,e^2tcos(5t)

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