Ache a solução geral das seguintes equações lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo de matéria envolve duas etapas principais: primeiro achar a solução da equação homogênea associada, e em seguida usar o método dos coeficientes indeterminados para obter uma particular.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea
A equação característica é
cuja solução é
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para achar uma solução particular usamos coeficientes indeterminados. Como o termo forçante é
e
já aparece em
, há ressonância e devemos multiplicar por
. Proponho
Para simplificar o cálculo, defino
, de modo que
. Um cálculo direto mostra que
Logo basta resolver
Passo 4
Calculo
. Como
verifica‐se (após derivar duas vezes) que
Queremos isto igual a
, isto é,
Comparando coeficientes obtemos
e
. Logo
Passo 5
A solução geral é a soma de homogênea e particular: