Ache a solução geral do sistema dado.
$$
a)\left{ \right. \

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDOs de 1ª ordem
dxdt=x+2ydydt=4x+3y
Isso é um sistema linear autônomo, cujo método envolve escrever na forma matricial, calcular autovalores e autovetores e montar a solução via combinação linear de exponenciais.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial temos X=xy e
X'=AX, A=1&24&3
Aqui vamos usar que a solução geral de um sistema linear é combinação das soluções elementares obtidas de cada autovalor.

Passo 3

Calcular os autovalores: montamos o polinômio característico
det(A-lambda I)=det1-lambda&24&3-lambda=(1-lambda)(3-lambda)-8=lambda^2-4lambda-5
Resolvendo lambda^2-4lambda-5=0 obtemos
lambda=4pmraiz16+202=4pm62implieslambda1=5,;lambda2=-1

Passo 4

Encontrar autovetores:
Para lambda1=5 resolvemos
(A-5I)v=0implies-4&24&-2v1v2=0implies v2=2v1
Tomando v^(1)=(1,2)^T.
Para lambda2=-1 temos
(A+I)v=0implies2&24&4v1v2=0implies v2=-v1
Tomando v^(2)=(1,-1)^T.

Passo 5

Montar a solução geral combinando as soluções elementares:
$$X(t)=C_1e{\lambda_1t}v{(1)}+C_2e{\lambda_2t}v{(2)}
= C_1e{5t}\begin{pmatrix}1\2\end{pmatrix}+C_2e{-t} X(t)=C1e^lambda1tv^(1)+C2e^lambda2tv^(2) = C1e^5t12+C2e^-t1-1,,$$
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral é
x(t)=C1e^5t+C2e^-t, y(t)=2C1e^5t-C2e^-t,
com C1 e C2 constantes de integração.

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