Ache a solução geral do sistema dado.
$$
a)\left{
\right. \
a)\left{
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema de EDOs de 1ª ordem
Isso é um sistema linear autônomo, cujo método envolve escrever na forma matricial, calcular autovalores e autovetores e montar a solução via combinação linear de exponenciais.
Passo 2
Escrevendo em forma matricial temos
e
Aqui vamos usar que a solução geral de um sistema linear é combinação das soluções elementares obtidas de cada autovalor.
Passo 3
Calcular os autovalores: montamos o polinômio característico
Resolvendo
Passo 4
Encontrar autovetores:
Para resolvemos
Para
Tomando
Para
Tomando
.
Passo 5
Montar a solução geral combinando as soluções elementares:
$$X(t)=C_1e{\lambda_1t}v{(1)}+C_2e{\lambda_2t}v{(2)}
= C_1e{5t}\begin{pmatrix}1\2\end{pmatrix}+C_2e{-t}
,$$
onde e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
onde
Resposta
A solução geral é
com