Ache a solução geral do sistema dado.
$$
f) X^{\prime}=\left( \right) X, X(0)=\left( rrr 1 & -12 & -14 1 & 2 & -3 1 & 1 & -2 \right) \

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema X'=AX com \nX(0)=(4,6,-7)^T\n, onde a matriz
A=1 & -12 & -141 & 2 & -31 & 1 & -2
O conteúdo é resolver sistemas lineares por autovalores e autovetores e depois ajustar constantes pela condição inicial.

Passo 2

Primeiro encontramos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=1-lambda & -12 & -141 & 2-lambda & -31 & 1 & -2-lambda =-(lambda-1)(lambda^2+25)
Assim os autovalores são lambda1=1 e lambda2,3=pm5i.

Passo 3

Para lambda1=1, resolvemos (A-I)v=0. Das equações surge
v2=-tfrac76v3, v1=3v3-v2,
e uma escolha prática é v^(1)=(25,-7,6)^T.

Passo 4

Para lambda=5i, resolvemos (A-5iI)v=0 e obtemos o autovetor complexo
v=l(1+5i,1,1r)^T
Escrevemos então as partes real e imaginária:
vR=(1,1,1)^T, vI=(5,0,0)^T,
que geram as soluções reais ,vRcos5t - vIsin5t e vRsin5t + vIcos5t.

Passo 5

A forma geral real da solução é
X(t)=C1e^t25-76+Al(vRcos5t - vIsin5tr)+Bl(vRsin5t + vIcos5tr)

Passo 6

Impondo X(0)=(4,6,-7)^T e usando vR e vI achamos as constantes
C1=-1, A=-1, B=6.

Resposta

A solução com a condição inicial é
x_1(t)=29\cos5t+11\sin5t-25e^t,
x_2(t)=-\cos5t+6\sin5t+7e^t,
x_3(t)=-\cos5t+6\sin5t-6e^t.

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