Ache a solução geral do sistema dado.
$$
f) X^{\prime}=\left(
\right) X, X(0)=\left(
\right) \
f) X^{\prime}=\left(
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema
com \nX(0)=(4,6,-7)^T\n, onde a matriz
O conteúdo é resolver sistemas lineares por autovalores e autovetores e depois ajustar constantes pela condição inicial.
Passo 2
Primeiro encontramos o polinômio característico de
A :
Assim os autovalores são
lambda1=1 e
lambda2,3=pm5i .
Passo 3
Para
lambda1=1 , resolvemos
(A-I)v=0 . Das equações surge
e uma escolha prática é
v^(1)=(25,-7,6)^T .
Passo 4
Para
lambda=5i , resolvemos
(A-5iI)v=0 e obtemos o autovetor complexo
Escrevemos então as partes real e imaginária:
que geram as soluções reais
,vRcos5t - vIsin5t e
vRsin5t + vIcos5t .
Passo 5
A forma geral real da solução é
Passo 6
Impondo
X(0)=(4,6,-7)^T e usando
vR e
vI achamos as constantes
C1=-1 ,
A=-1 ,
B=6 .
Resposta
A solução com a condição inicial é
x_1(t)=29\cos5t+11\sin5t-25e^t,
x_2(t)=-\cos5t+6\sin5t+7e^t,
x_3(t)=-\cos5t+6\sin5t-6e^t.
x_1(t)=29\cos5t+11\sin5t-25e^t,
x_2(t)=-\cos5t+6\sin5t+7e^t,
x_3(t)=-\cos5t+6\sin5t-6e^t.