ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear de equações diferenciais ordinárias e pede a solução geral. As informações importantes são:
- O sistema é
- A tarefa é encontrar a solução geral
, isto é, todas as soluções dependentes de constantes arbitrárias.
Passo 2
É conveniente escrever o sistema na forma matricial
, onde
e
é a matriz dos coeficientes. Aqui,
Explicação didática rápida: para sistemas lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
, onde
é um número (autovalor) e
é um vetor (autovetor). Substituindo nesta forma obtemos a condição
; não-trivial
existe quando
. Essa equação em
chama-se polinômio característico.]
Passo 3
Calcular o polinômio característico
. Primeiro escrevemos
A determinante de uma
é
. Aplicando:
Agora expandimos cuidadosamente:
e
Somando os termos:
Passo 4
Resolver a equação característica
. Essa é uma quadrática simples; podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Fatorando:
Logo as raízes (autovalores) são
Explicação didática: cada autovalor corresponde a uma solução exponencial
multiplicada por um autovetor associado.
Passo 5
Determinar o autovetor associado a
. Resolvemos
, isto é
Da primeira linha obtemos
, portanto
Escolhendo
(escolhemos para ter números inteiros), temos
. Assim um autovetor correspondente é
Comentário: qualquer múltiplo de
também serve; constantes multiplicativas serão absorvidas nas constantes arbitrárias da solução geral.]
Passo 6
Determinar o autovetor associado a
. Resolvendo
:
Da primeira linha
, então
Escolhendo
(para números inteiros), obtemos
. Logo um autovetor é
Passo 7
Como temos dois autovalores reais distintos e autovetores linearmente independentes
, a solução geral do sistema é a combinação linear das soluções elementares correspondentes:
onde
são constantes reais arbitrárias.
Passo 8
Substituindo os valores encontrados em forma explícita:
Isto dá as componentes
Passo 9
Comentário final e verificação mental: pode-se verificar diferenciando
e substituindo no sistema original para conferir que as relações são satisfeitas (ainda que não façamos a verificação explícita aqui). As constantes
são determinadas se forem dados valores iniciais
.