os vetores dados são soluções de um sistema \mathbf{X}^{\prime}=\mathbf{A X}. Determine se os vetores formam um conjunto fundamental em ( -\infty, \infty ).
\mathbf{X}_{1}=\left(\begin{array}{r}1 \\\\ -2 \\\\ 4\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 2\end{array}\right), \mathbf{X}_{2}=\left(\begin{array}{r}1 \\\\ -2 \\\\ 4\end{array}\right), \mathbf{X}_{3}=\left(\begin{array}{r}3 \\\\ -6 \\\\ 12\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}2 \\\\ 4 \\\\ 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá três funções-vetores (soluções de \mathbf{X}'=\mathbf{A X}):
\mathbf{X}_{1}(t)=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix},\qquad \mathbf{X}_{2}(t)=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 4\end{pmatrix},\qquad \mathbf{X}_{3}(t)=\begin{pmatrix}3\\\ -6\\\ 12\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ 4\end{pmatrix}.
A pergunta é: esses três vetores formam um conjunto fundamental em (-\infty,\infty)? (Isto é, são três soluções linearmente independentes em todo o intervalo.)

Passo 2

O que significa “conjunto fundamental” neste contexto? Para um sistema de dimensão 3 um conjunto fundamental é um conjunto de 3 soluções linearmente independentes. Definição prática de independência linear para funções-vetor: \mathbf{X}_1,\mathbf{X}_2,\mathbf{X}_3 são linearmente independentes se a única escolha de escalares constantes c_1,c_2,c_3 que satisfaz
c_1\mathbf{X}_1(t)+c_2\mathbf{X}_2(t)+c_3\mathbf{X}_3(t)=\mathbf{0}\quad\text{para todo }t
é c_1=c_2=c_3=0. Se existir uma escolha não trivial de constantes que zere a combinação para todo t, então são linearmente dependentes e não formam conjunto fundamental.
Dica prática: uma forma simples é escrever as soluções em termos de vetores constantes e de t (separe as partes constantes e as que multiplicam t) e igualar coeficientes de 1 e de t. Se as partes constantes que aparecem forem vetores linearmente independentes, os coeficientes escalares devem ser zero separadamente.

Passo 3

Extraio as partes constantes e as partes que multiplicam t. Defino
v=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 4\end{pmatrix},\qquad w=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix}.
Então
\mathbf{X}_1(t)=v+t w,\qquad \mathbf{X}_2(t)=v.
Para \mathbf{X}_3 observe que a parte constante é \begin{pmatrix}3\\\ -6\\\ 12\end{pmatrix}=3v e a parte multiplicando t é \begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ 4\end{pmatrix}=2w. Assim
\mathbf{X}_3(t)=3v+ t\,2w.

Passo 4

Faço a combinação linear geral com constantes c_1,c_2,c_3\): \[c_1\mathbf{X}_1(t)+c_2\mathbf{X}_2(t)+c_3\mathbf{X}_3(t) = c_1(v+t w)+c_2 v + c_3(3v+ t\,2w).
Agrupando termos em v e em t w:
= (c_1+c_2+3c_3)\,v \;+\; t(c_1+2c_3)\,w.
Para essa expressão ser o vetor nulo para todo t é preciso que os coeficientes escalares de v e de t w sejam nulos simultaneamente. Antes de impor isso, preciso garantir que v e w não sejam múltiplos um do outro (caso fossem, poderiam conflitar as equações). Verifico se existem \alpha tal que v=\alpha w:
comparando componentes, da primeira componente teria \alpha=1, mas então a segunda exigiria -2=\alpha\cdot 2=2, o que é falso. Portanto v e w não são múltiplos — são vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3. Logo os escalares que multiplicam v e w devem ser zero:
\begin{cases} c_1+c_2+3c_3=0,\\[4pt] c_1+2c_3=0. \end{cases}
Resolvo esse sistema: da segunda equação c_1=-2c_3\]. Substituindo na primeira: \[-2c_3 + c_2 + 3c_3 = c_2 + c_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_2=-c_3.\] Portanto as soluções para \((c_1,c_2,c_3) são
(c_1,c_2,c_3)=(-2s,\,-s,\;s),\qquad s\in\mathbb{R}.
Para s\neq 0 obtemos uma combinação não trivial que zera a soma para todo t. Por exemplo, com s=1:
-2\mathbf{X}_1(t)-\mathbf{X}_2(t)+\mathbf{X}_3(t)=\mathbf{0}\quad\text{para todo }t.
Isso mostra que as três soluções são linearmente dependentes.]

Passo 5

Como existe combinação linear não trivial que anula as três soluções para todo t, as funções-vetor \mathbf{X}_1,\mathbf{X}_2,\mathbf{X}_3 não são linearmente independentes. Logo elas não formam um conjunto fundamental (não geram a base de soluções de dimensão 3) no intervalo (-\infty,\infty).

Resposta

Não, não formam um conjunto fundamental em (-\infty,\infty).

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