os vetores dados são soluções de um sistema \mathbf{X}^{\prime}=\mathbf{A X}. Determine se os vetores formam um conjunto fundamental em ( -\infty, \infty ).
A pergunta é: esses três vetores formam um conjunto fundamental em (-\infty,\infty)? (Isto é, são três soluções linearmente independentes em todo o intervalo.)
Passo 2
O que significa “conjunto fundamental” neste contexto? Para um sistema de dimensão 3 um conjunto fundamental é um conjunto de 3 soluções linearmente independentes. Definição prática de independência linear para funções-vetor: \mathbf{X}_1,\mathbf{X}_2,\mathbf{X}_3 são linearmente independentes se a única escolha de escalares constantes c_1,c_2,c_3 que satisfaz
c_1\mathbf{X}_1(t)+c_2\mathbf{X}_2(t)+c_3\mathbf{X}_3(t)=\mathbf{0}\quad\text{para todo }t
é c_1=c_2=c_3=0. Se existir uma escolha não trivial de constantes que zere a combinação para todo t, então são linearmente dependentes e não formam conjunto fundamental.
Dica prática: uma forma simples é escrever as soluções em termos de vetores constantes e de t (separe as partes constantes e as que multiplicam t) e igualar coeficientes de 1 e de t. Se as partes constantes que aparecem forem vetores linearmente independentes, os coeficientes escalares devem ser zero separadamente.
Passo 3
Extraio as partes constantes e as partes que multiplicam t. Defino
Para \mathbf{X}_3 observe que a parte constante é \begin{pmatrix}3\\\ -6\\\ 12\end{pmatrix}=3v e a parte multiplicando t é \begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ 4\end{pmatrix}=2w. Assim
\mathbf{X}_3(t)=3v+ t\,2w.
Passo 4
Faço a combinação linear geral com constantes c_1,c_2,c_3\):
\[c_1\mathbf{X}_1(t)+c_2\mathbf{X}_2(t)+c_3\mathbf{X}_3(t) = c_1(v+t w)+c_2 v + c_3(3v+ t\,2w).
Agrupando termos em v e em t w:
= (c_1+c_2+3c_3)\,v \;+\; t(c_1+2c_3)\,w.
Para essa expressão ser o vetor nulo para todo t é preciso que os coeficientes escalares de v e de t w sejam nulos simultaneamente. Antes de impor isso, preciso garantir que v e w não sejam múltiplos um do outro (caso fossem, poderiam conflitar as equações). Verifico se existem \alpha tal que v=\alpha w:
comparando componentes, da primeira componente teria \alpha=1, mas então a segunda exigiria -2=\alpha\cdot 2=2, o que é falso. Portanto v e w não são múltiplos — são vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3. Logo os escalares que multiplicam v e w devem ser zero:
Resolvo esse sistema: da segunda equação c_1=-2c_3\]. Substituindo na primeira:
\[-2c_3 + c_2 + 3c_3 = c_2 + c_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_2=-c_3.\]
Portanto as soluções para \((c_1,c_2,c_3) são
Para s\neq 0 obtemos uma combinação não trivial que zera a soma para todo t. Por exemplo, com s=1:
-2\mathbf{X}_1(t)-\mathbf{X}_2(t)+\mathbf{X}_3(t)=\mathbf{0}\quad\text{para todo }t.
Isso mostra que as três soluções são linearmente dependentes.]
Passo 5
Como existe combinação linear não trivial que anula as três soluções para todo t, as funções-vetor \mathbf{X}_1,\mathbf{X}_2,\mathbf{X}_3 não são linearmente independentes. Logo elas não formam um conjunto fundamental (não geram a base de soluções de dimensão 3) no intervalo (-\infty,\infty).
Resposta
Não, não formam um conjunto fundamental em (-\infty,\infty).