Ache a solução geral do sistema dado.
X^{\prime}=\left( rrr5 & -4 & 0 1 & 0 & 2 0 & 2 & 5\right) X

Passo 1

O sistema dado é X′=AX, com
A=5 & -4 & 0 1 & 0 & 2 0 & 2 & 5
O conteúdo aqui é sistemas lineares com coeficientes constantes. Vamos precisar da teoria de autovalores, autovetores e cadeias de Jordan para montar a solução geral.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =(5-lambda)det-lambda & 22 & 5-lambda+4(5-lambda) =(5-lambda)(lambda^2-5lambda-4)+4(5-lambda) =(5-lambda)(lambda^2-5lambda-4+4) =(5-lambda)lambda(lambda-5) =-lambda(5-lambda)^2
Logo, os autovalores são lambda1=0 e lambda2=5 (com multiplicidade algébrica 2).

Passo 3

Para lambda=0, resolvemos A v=0. Das equações
5x-4y=0, x+2z=0, 2y+5z=0,
vem x=tfrac45y e z=-tfrac25y. Podemos escolher y=5 para achar o autovetor
v0=45-2

Passo 4

Para lambda=5, resolvemos (A-5I)v=0. Das equações
-4y=0, x-5y+2z=0, 2y=0,
vem y=0 e x=-2z. Tomando z=1 obtemos o autovetor
v1=-201

Passo 5

Como a multiplicidade algébrica de lambda=5 é 2, mas há apenas um autovetor, precisamos de um vetor generalizado w tal que
(A-5I)w=v1
Seja w=(a,b,c)^T. Calculando
(A-5I)w=-4ba-5b+2c2b = -201,
vemos que b=tfrac12 e a+2c=tfrac52. Escolhendo c=0
w=tfrac52tfrac120

Passo 6

Pela teoria de cadeias de Jordan, a solução geral é combinação linear de:
– modo associado a lambda=0: constante e^0t=1 vezes v0,
– modo propriamente dito para lambda=5: e^5tv1,
– modo generalizado para lambda=5: e^5t(tv1+w).
Portanto

Passo 7

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