Esboce o gráfico de cada uma das funções.
Passo 1
Estamos com a função racional h(t)=1/(t+2) e queremos esboçar seu gráfico usando conhecimento sobre transformações de f(x)=1/x e assíntotas.
Passo 2
Como a base desse tipo de gráfico é y=1/x, lembramos que ela tem duas assíntotas: vertical em x=0 e horizontal em y=0, e forma duas hipérboles nos quadrantes I e III.
Passo 3
Para obter h(t)=1/(t+2) basta aplicar um deslocamento horizontal de 2 unidades para a esquerda no gráfico de y=1/x. Logo, a assíntota vertical passa de t=0 para t=-2, e a horizontal continua em h=0.
Passo 4
Analisamos o domínio e assíntotas:
O domínio é todos os t≠−2,
assíntota vertical em t=−2,
assíntota horizontal em h=0.
O domínio é todos os t≠−2,
assíntota vertical em t=−2,
assíntota horizontal em h=0.
Passo 5
Escolhemos alguns pontos para desenhar o contorno das curvas:
Para t>-2, por exemplo t=0⇒h(0)=1/2; t=2⇒h(2)=1/4;
para t<-2, por exemplo t=-1 não vale (fora do domínio), t=-3⇒h(-3)=1/(-1)=-1; t=-4⇒h(-4)=1/(-2)=-1/2.
Para t>-2, por exemplo t=0⇒h(0)=1/2; t=2⇒h(2)=1/4;
para t<-2, por exemplo t=-1 não vale (fora do domínio), t=-3⇒h(-3)=1/(-1)=-1; t=-4⇒h(-4)=1/(-2)=-1/2.
Passo 6
Com isso, montamos duas ramificações:
- Para t>-2 (ramo positivo): conforme t→-2+ h→+∞, e conforme t→+∞ h→0+.
- Para t<-2 (ramo negativo): conforme t→-2- h→-∞, e conforme t→-∞ h→0-.
Passo 7
Desenhando as assíntotas (linha vertical t=-2 e linha horizontal h=0) e passando pelos pontos calculados, temos o esboço completo de h(t)=1/(t+2).
Resposta
O gráfico de h(t)=1/(t+2) é uma hipérbole obtida ao deslocar 1/x duas unidades para a esquerda, com assíntotas vertical t=−2 e horizontal h=0, apresentando um ramo positivo para t>−2 e um ramo negativo para t<−2.