Ache a solução geral do sistema dado.
X^{\prime}=\left( rr2 & 4 -1 & 6\right) X, X(0)=\binom{-1}{6}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDOs lineares de primeira ordem X’=AX, com
A =
2 & 4 -1 & 6
e condição inicial X(0)=(-1,6). Vamos usar autovalores, autovetores e cadeia de Jordan para resolver.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A montando det(A-lambda I)=0 e resolvendo para lambda:
det2-lambda & 4 -1 & 6-lambda = (2-lambda)(6-lambda)+4 = lambda^2-8lambda+16 = (lambda-4)^2

Passo 3

Identificar o único autovalor lambda=4 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Determinar o autovetor associado a lambda=4 resolvendo (A-4I)v=0:
-2 & 4 -1 & 2 v1 v2=0 implies v=(2,1)^T

Passo 5

Como há apenas um autovetor, construir um autovetor generalizado w satisfazendo (A-4I)w=v. Escolhendo w=(w1,w2)^T e resolvendo
-2 & 4 -1 & 2 w1 w2= 2 1
uma escolha simples obtemos w=(-1,0)^T.

Passo 6

Montar a solução geral usando a cadeia de Jordan:
X(t)=C1e^4tv+C2l(te^4tv+e^4twr)

Passo 7

Aplicar a condição inicial X(0)=(-1,6)^T para determinar C1 e C2:
C1v+C2w=(-1,6)^T implies 2C1-C2=-1, C1=6
logo C1=6 e C2=13.

Resposta

X(t)=e^4t-1+26t6+13t

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