Seja S uma superfície parametrizada por r(u, v)=(u, v, u^2+2 v^2).
Quais dentre os vetores abaixo tem mesmo sentido e direção do vetor normal exterior à superfície S no ponto P=(1,1,3).
Escolha uma opção:
a. (-2,-4,1)
b. (-2,-4,-1)
c. (2,4,-1)
d. (0,-4,1)
e. (2,4,1)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma superfície $ S $ parametrizada por $ \vec{r}(u, v) = (u, v, u^{2} + 2 v^{2}) $. No ponto $ P = (1, 1, 3) $, queremos encontrar o vetor normal exterior à superfície e identificar qual das opções dadas tem a mesma direção e sentido desse vetor normal.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de vetores normais a superfícies parametrizadas. Vamos seguir passo a passo para achar a resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície no ponto $ P $. Esses vetores são as derivadas parciais de $ \vec{r}(u, v) $ em relação a $ u $ e $ v $.
Vamos calcular $ \vec{r}_u $ e $ \vec{r}_v $:
P
r(u, v)

Passo 3

No ponto $ P = (1, 1, 3) $, os valores de $ u $ e $ v $ são ambos 1 (já que $ \vec{r}(1, 1) = (1, 1, 1^2 + 2 \cdot 1^2) = (1, 1, 3) $).
Vamos substituir $ u = 1 $ e $ v = 1 $ nas derivadas parciais:
P = (1, 1, 3)
u

Passo 4

Agora, para encontrar o vetor normal à superfície, usamos o produto vetorial dos vetores tangentes $ \vec{r}_u $ e $ \vec{r}_v $:
ru
Vamos calcular esse produto:
rv
n = ru times rv

Passo 5

O vetor normal que encontramos é $ \vec{n} = (-2, -4, 1) $. Esse vetor aponta para o exterior da superfície no ponto $ P $.
Agora, vamos comparar esse vetor com as opções fornecidas:
a. $ (-2, -4, 1) $
b. $ (-2, -4, -1) $
c. $ (2, 4, -1) $
d. $ (0, -4, 1) $
e. $ (2, 4, 1) $
A opção que coincide exatamente com $ \vec{n} $ é a opção a. $ (-2, -4, 1) $.

Resposta

A opção que tem o mesmo sentido e direção do vetor normal exterior à superfície $ S $ no ponto $ P = (1, 1, 3) $ é a letra a. $ (-2, -4, 1) $.

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