Seja S uma superfície parametrizada por
.
Quais dentre os vetores abaixo tem mesmo sentido e direção do vetor normal exterior à superfície S no ponto
.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Quais dentre os vetores abaixo tem mesmo sentido e direção do vetor normal exterior à superfície S no ponto
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma superfície $ S $ parametrizada por $ \vec{r}(u, v) = (u, v, u^{2} + 2 v^{2}) $. No ponto $ P = (1, 1, 3) $, queremos encontrar o vetor normal exterior à superfície e identificar qual das opções dadas tem a mesma direção e sentido desse vetor normal.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de vetores normais a superfícies parametrizadas. Vamos seguir passo a passo para achar a resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície no ponto $ P $. Esses vetores são as derivadas parciais de $ \vec{r}(u, v) $ em relação a $ u $ e $ v $.
Vamos calcular $ \vec{r}_u $ e $ \vec{r}_v $:
Passo 3
No ponto $ P = (1, 1, 3) $, os valores de $ u $ e $ v $ são ambos 1 (já que $ \vec{r}(1, 1) = (1, 1, 1^2 + 2 \cdot 1^2) = (1, 1, 3) $).
Vamos substituir $ u = 1 $ e $ v = 1 $ nas derivadas parciais:
Passo 4
Agora, para encontrar o vetor normal à superfície, usamos o produto vetorial dos vetores tangentes $ \vec{r}_u $ e $ \vec{r}_v $:
Vamos calcular esse produto:
Passo 5
O vetor normal que encontramos é $ \vec{n} = (-2, -4, 1) $. Esse vetor aponta para o exterior da superfície no ponto $ P $.
Agora, vamos comparar esse vetor com as opções fornecidas:
a. $ (-2, -4, 1) $
b. $ (-2, -4, -1) $
c. $ (2, 4, -1) $
d. $ (0, -4, 1) $
e. $ (2, 4, 1) $
A opção que coincide exatamente com $ \vec{n} $ é a opção a. $ (-2, -4, 1) $.
Resposta
A opção que tem o mesmo sentido e direção do vetor normal exterior à superfície $ S $ no ponto $ P = (1, 1, 3) $ é a letra a. $ (-2, -4, 1) $.