& (17). y^{\prime}=\left(3 x{2}-e{x}\right) /(2 y-5), \quad y(0)=1 \

Passo 1

Primeiro, o enunciado pede pra resolver a equação diferencial de primeira ordem y' = 3x^2 - e^x2y - 5 com a condição inicial y(0)=1. O conteúdo é separação de variáveis em EDOs e vamos precisar isolar y de um lado e x do outro para integrar.

Passo 2

Podemos reescrever a equação separando as variáveis y e x:
(2y - 5),dy = (3x^2 - e^x),dx

Passo 3

Agora integramos cada lado. Do lado de y temos integral de um polinômio e do lado de x a soma de uma potência e uma exponencial:
integral (2y - 5),dy = integral (3x^2 - e^x),dx

Passo 4

Calculando as integrais:
integral (2y - 5),dy = y^2 - 5y + C1,
integral (3x^2 - e^x),dx = x^3 - e^x + C2

Passo 5

Podemos juntar as constantes numa só C = C2 - C1 e escrever a solução implícita:
y^2 - 5y = x^3 - e^x + C

Passo 6

Usando a condição inicial y(0)=1:
1^2 - 5cdot1 = -4,
0^3 - e^0 + C = -1 + C,
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-4 = -1 + C implies C = -3

Passo 7

Substituindo C na forma implícita obtemos
y^2 - 5y = x^3 - e^x - 3

Passo 8

Para expressar y explicitamente, trate como equação quadrática em y:
y^2 - 5y - (x^3 - e^x -3) = 0

Passo 9

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
y = 5 pm raiz25 + 4(x^3 - e^x -3)2 = 5 pm raiz4x^3 -4e^x +132

Passo 10

Por fim, para escolher o sinal, avalie em x=0: o radical vira raiz13 -4 =3, e queremos y(0)=1, logo
1 = 5 pm 32 implies 1 = 5 - 32, portanto o sinal correto é o “−”.

Resposta

y(x) = 5 - raiz4x^3 - 4e^x + 132

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