& (17). y^{\prime}=\left(3 x{2}-e{x}\right) /(2 y-5), \quad y(0)=1 \
Passo 1
Primeiro, o enunciado pede pra resolver a equação diferencial de primeira ordem
com a condição inicial
. O conteúdo é separação de variáveis em EDOs e vamos precisar isolar
de um lado e
do outro para integrar.
Passo 2
Podemos reescrever a equação separando as variáveis
e
:
Passo 3
Agora integramos cada lado. Do lado de
temos integral de um polinômio e do lado de
a soma de uma potência e uma exponencial:
Passo 4
Calculando as integrais:
Passo 5
Podemos juntar as constantes numa só
e escrever a solução implícita:
Passo 6
Usando a condição inicial
:
logo
Passo 7
Substituindo
na forma implícita obtemos
Passo 8
Para expressar
explicitamente, trate como equação quadrática em
:
Passo 9
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Passo 10
Por fim, para escolher o sinal, avalie em
: o radical vira
, e queremos
, logo