Ache a solução geral do sistema de equações dado e desenhe o seu retrato de fase:
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede. O sistema é
Informações dadas:
- As incógnitas são as funções
e . - Podemos escrever o sistema na forma matricial
com
O enunciado pede:
- a solução geral do sistema (isto é,
em termos de constantes arbitrárias),\n - o retrato de fase (descrição geométrica das trajetórias no plano
).]
Passo 2
Vamos achar os autovalores de
usando o polinômio característico. O polinômio característico é
. Calcular:
então
Agora expandir e simplificar passo a passo:
e somando
(por causa do
) obtemos
Portanto o único autovalor é
com multiplicidade algébrica
.]
Passo 3
Agora encontramos autovetores resolvendo
com
. Substituindo:
Resolvendo
, com
, as equações são
As duas equações são equivalentes e dão
. Então os autovetores formam uma reta gerada, por exemplo, por
Observe que a multiplicidade geométrica do autovalor é
(há apenas uma direção de autovetor), menor que a multiplicidade algébrica
. Isso significa que
não é diagonalizável e há que usar vetores generalizados (bloco de Jordan).]
Passo 4
Explicar o que é um vetor generalizado e como o usamos. Quando um autovalor
é defeituoso (geometricamente simples), procura-se um vetor
tal que
onde
é o autovetor encontrado. Esse
é chamado vetor generalizado de ordem 2. Ele permite construir uma base que leva
à forma de Jordan, e a exponencial de Jordan gera termos com
na solução.
Passo 5
Vamos achar um vetor generalizado
resolvendo
. Escrevendo
e lembrando
:
As duas equações são equivalentes; da segunda temos
. Uma escolha simples é
, então
. Assim um vetor generalizado válido é
Verificação rápida:
— substituindo,
, conforme pedido.]
Passo 6
Agora explico a forma geral da solução quando há um bloco de Jordan
com autovalor
. Se
é autovetor e
é vetor generalizado tal que
, então a solução geral é
onde
são constantes arbitrárias. Intuição curta: a exponencial de uma matriz Jordan
é
, o que produz termos em
e
; aplicando a mudança de base com vetores
obtemos a fórmula acima.]
Passo 7
Aplicando a fórmula com
,
e
, obtemos a solução geral:
onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais.]
Passo 8
Para maior clareza, escrevemos as componentes
e
explicitamente. Somando os vetores dentro do colchete:
Logo,
Estas fórmulas dão a solução geral em termos das constantes
.]
Passo 9
Vamos interpretar geometricamente para desenhar o retrato de fase (explicação didática). Pontos importantes:
- O autovalor é
, logo a origem é uma origem instável: todas as trajetórias (exceto a solução estacionária trivial ) saem do equilíbrio quando e tendem para o equilíbrio quando . - Há uma única direção de autovetor dada por
. Essa é a reta de soluções que crescem exatamente como : se então fica sobre a reta . - Para
aparecem termos que fazem as trajetórias se curvarem; para os termos dominam, e a razão tende para (ou seja, as trajetórias tornam-se assimptoticamente tangentes à direção ). Portanto, à medida que se afastam do equilíbrio, as curvas tornam-se quase paralelas à reta do autovetor. - Como só existe uma direção de autovetor, este equilíbrio é chamado de nó degenerado ou nó impróprio (defeituoso), e neste caso é um nó instável (fonte) por
.
Passo 10
Como desenhar o retrato de fase prático (instruções para rascunho):
- Desenhar o eixo das abscissas
e o eixo das ordenadas . - Traçar a reta de autovetores passando pela origem com declive
(ou seja, mais “horizontal”). - Sobre essa reta, marque setas apontando para fora da origem (crescimento exponencial
). - Escolher algumas condições iniciais fora da reta. As trajetórias começam próximas à origem quando
é negativo e, ao aumentar , curvam-se e seguem para fora, ficando cada vez mais paralelas à reta autovetorial. As curvas são suaves e não cruzam (por linearidade). - Em resumo: curvas saindo da origem, assimptoticamente tangentes à reta
quando ; origem é um nó instável degenerado.
Resposta
Retrato de fase: origem é um nó degenerado instável (